Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente verificar um fato sobre sequências, especificamente sobre sequências monótonas e seu comportamento em relação a serem limitadas. A matéria envolve conceitos de análise de sequências, como monotonicidade e limites. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa uma sequência ser monótona e o que é uma sequência limitada, além de entender o que é uma subsequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela é sempre crescente ou sempre decrescente. Ou seja, cada termo é sempre maior ou igual (monótona crescente) ou sempre menor ou igual (monótona decrescente) que o termo anterior.
Passo 3
Agora, uma sequência limitada é aquela que não cresce indefinidamente nem diminui indefinidamente. Mais formalmente, existe algum número real que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os termos da sequência.
Passo 4
Uma subsequência é basicamente pegar alguns termos da sequência original, mantendo a ordem, mas possivelmente pulando alguns termos no meio.
Passo 5
O exercício nos diz para verificar se “uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada”. Vamos dividir isso em duas partes: primeiro, mostrar que se a sequência é monótona e limitada, então ela possui uma subsequência limitada. Segundo, que se existe uma subsequência limitada, então a sequência original também é limitada.
Passo 6
Primeira direção: Se a sequência é monótona e limitada, então toda subsequência também será limitada. Isso acontece porque, já que a sequência inteira está dentro de certos limites, qualquer seleção de termos (ou seja, qualquer subsequência) também ficará dentro desses mesmos limites.
Passo 7
Segunda direção: Se existe uma subsequência limitada em uma sequência monótona, então a sequência inteira deve ser limitada. Isso porque em uma sequência monótona, se uma parte dela está limitada, toda a sequência não pode ultrapassar esses limites. Por exemplo, se a sequência é crescente e tem uma subsequência que não cresce além de certo ponto, a sequência inteira não pode crescer além desse ponto, caso contrário, a subsequência também iria além.
Passo 8
Portanto, mostramos que uma sequência monótona ser limitada implica que todas as suas subsequências são limitadas, e se existe uma subsequência limitada, a sequência original também é limitada. Isso confirma o “se e somente se”.
Resposta
O fato está correto: uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.
Exercícios relacionados
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
Se
e
então
.
Se
e
então
.