Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente verificar um fato sobre sequências, especificamente sobre sequências monótonas e seu comportamento em relação a serem limitadas. A matéria envolve conceitos de análise de sequências, como monotonicidade e limites. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa uma sequência ser monótona e o que é uma sequência limitada, além de entender o que é uma subsequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela é sempre crescente ou sempre decrescente. Ou seja, cada termo é sempre maior ou igual (monótona crescente) ou sempre menor ou igual (monótona decrescente) que o termo anterior.

Passo 3

Agora, uma sequência limitada é aquela que não cresce indefinidamente nem diminui indefinidamente. Mais formalmente, existe algum número real que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os termos da sequência.

Passo 4

Uma subsequência é basicamente pegar alguns termos da sequência original, mantendo a ordem, mas possivelmente pulando alguns termos no meio.

Passo 5

O exercício nos diz para verificar se “uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada”. Vamos dividir isso em duas partes: primeiro, mostrar que se a sequência é monótona e limitada, então ela possui uma subsequência limitada. Segundo, que se existe uma subsequência limitada, então a sequência original também é limitada.

Passo 6

Primeira direção: Se a sequência é monótona e limitada, então toda subsequência também será limitada. Isso acontece porque, já que a sequência inteira está dentro de certos limites, qualquer seleção de termos (ou seja, qualquer subsequência) também ficará dentro desses mesmos limites.

Passo 7

Segunda direção: Se existe uma subsequência limitada em uma sequência monótona, então a sequência inteira deve ser limitada. Isso porque em uma sequência monótona, se uma parte dela está limitada, toda a sequência não pode ultrapassar esses limites. Por exemplo, se a sequência é crescente e tem uma subsequência que não cresce além de certo ponto, a sequência inteira não pode crescer além desse ponto, caso contrário, a subsequência também iria além.

Passo 8

Portanto, mostramos que uma sequência monótona ser limitada implica que todas as suas subsequências são limitadas, e se existe uma subsequência limitada, a sequência original também é limitada. Isso confirma o “se e somente se”.

Resposta

O fato está correto: uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.

Exercícios relacionados

Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então não é limitada; em particular, não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Se e então .
Se e então .