Se e então .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos duas sequências, e . Sabemos que o limite de quando tende ao infinito é , que não é zero ( ). Também sabemos que o limite do produto é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o limite da sequência . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos limites de sequências e algumas regras básicas da álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se o limite de é e , isso significa que, para valores de grandes, está se aproximando de e não está se aproximando de zero. Isso é importante porque iremos dividir por mais adiante.

Passo 3

Sabemos que o limite do produto de duas sequências é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
No nosso caso, temos que e . Vamos substituir esses valores na equação acima.

Passo 4

Substituindo os limites, temos:
Agora, queremos encontrar , então vamos isolar essa expressão.

Passo 5

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :
Isso nos dá o limite da sequência em função de e .

Resposta

Portanto, o limite da sequência é:

Exercícios relacionados

Mostre diretamente da definição que se então . Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade .
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) decrescente é sempre limitada superiormente.
Sejam e ; verifique que e conclua que . (Pode ser mais conveniente considerar primeiro .)
Mostre que, para todo ,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que ; considere a subsequência com índices ; nesse caso, .)