Se
e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos duas sequências,
e
. Sabemos que o limite de
quando
tende ao infinito é
, que não é zero (
). Também sabemos que o limite do produto
é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o limite da sequência
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos limites de sequências e algumas regras básicas da álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se o limite de
é
e
, isso significa que, para valores de
grandes,
está se aproximando de
e não está se aproximando de zero. Isso é importante porque iremos dividir por
mais adiante.
Passo 3
Sabemos que o limite do produto de duas sequências é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
No nosso caso, temos que
e
. Vamos substituir esses valores na equação acima.
Passo 4
Substituindo os limites, temos:
Agora, queremos encontrar
, então vamos isolar essa expressão.
Passo 5
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Isso nos dá o limite da sequência
em função de
e
.
Resposta
Portanto, o limite da sequência
é:
Exercícios relacionados
Mostre diretamente da definição que se
então
. Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade
.
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) decrescente é sempre limitada superiormente.
Sejam
e
; verifique que
e conclua que
. (Pode ser mais conveniente considerar primeiro
.)
Mostre que, para todo
,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que
; considere a subsequência com índices
; nesse caso,
.)