Se lim xn=a neq 0 e lim xn yn=b então lim yn=ba.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos duas sequências, e . Sabemos que o limite de quando tende ao infinito é , que não é zero ( ). Também sabemos que o limite do produto é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o limite da sequência . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos limites de sequências e algumas regras básicas da álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se o limite de é e , isso significa que, para valores de grandes, está se aproximando de e não está se aproximando de zero. Isso é importante porque iremos dividir por mais adiante.

Passo 3

Sabemos que o limite do produto de duas sequências é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
limn to infty (xn yn) = ( limn to infty xn ) ( limn to infty yn )
No nosso caso, temos que e . Vamos substituir esses valores na equação acima.

Passo 4

Substituindo os limites, temos:
b = a cdot limn to infty yn
Agora, queremos encontrar , então vamos isolar essa expressão.

Passo 5

Para isolar limn to infty yn = ba , dividimos ambos os lados da equação por :
Isso nos dá o limite da sequência em função de e .

Resposta

Portanto, o limite da sequência limn to infty yn = ba é:

Exercícios relacionados