Sejam e ; verifique que e conclua que . (Pode ser mais conveniente considerar primeiro .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas sequências: e . Nosso objetivo é provar que o limite do produto é 1 e, a partir disso, concluir que o limite de é . Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de . Sabemos que:
Podemos combinar as potências:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito. Sabemos que tende a zero, então a expressão dentro do parêntese tende a 1. Para resolver o limite de uma expressão da forma onde e , podemos usar a aproximação .

Passo 4

Aplicando o logaritmo natural para facilitar o cálculo:
Agora, tomando o limite:
Então, o limite do logaritmo é 0, o que significa que o limite original é .

Passo 5

Concluímos que:
Agora, sabemos que e queremos encontrar . Já que:
Podemos resolver para :

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é .

Exercícios relacionados

Se e então .
Mostre diretamente da definição que se então . Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade .
Mostre que, para todo ,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que ; considere a subsequência com índices ; nesse caso, .)
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então não é limitada; em particular, não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .