Sejam
e
; verifique que
e conclua que
. (Pode ser mais conveniente considerar primeiro
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas sequências:
e
. Nosso objetivo é provar que o limite do produto
é 1 e, a partir disso, concluir que o limite de
é
. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
. Sabemos que:
Podemos combinar as potências:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
tende a zero, então a expressão dentro do parêntese tende a 1. Para resolver o limite de uma expressão da forma
onde
e
, podemos usar a aproximação
.
Passo 4
Aplicando o logaritmo natural para facilitar o cálculo:
Agora, tomando o limite:
Então, o limite do logaritmo é 0, o que significa que o limite original é
.
Passo 5
Concluímos que:
Agora, sabemos que
e queremos encontrar
. Já que:
Podemos resolver para
:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é
.
Exercícios relacionados
Se
e
então
.
Mostre diretamente da definição que se
então
. Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade
.
Mostre que, para todo
,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que
; considere a subsequência com índices
; nesse caso,
.)
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que