Sejam xn=(1+1 / n)^n e yn=(1-1 / n)^n; verifique que lim xn yn=1 e conclua que lim yn=e^-1. (Pode ser mais conveniente considerar primeiro lim xn yn+1.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas sequências: e . Nosso objetivo é provar que o limite do produto é 1 e, a partir disso, concluir que o limite de é . Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de xn yn = (1 + 1n)^n (1 - 1n)^n . Sabemos que:
xn yn = [(1 + 1n)(1 - 1n)]^n = (1 - 1n^2)^n
Podemos combinar as potências:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito. Sabemos que tende a zero, então a expressão dentro do parêntese tende a 1. Para resolver o limite de uma expressão da forma onde e , podemos usar a aproximação .

Passo 4

Aplicando o logaritmo natural para facilitar o cálculo:
ln((1 - 1n^2)^n) = n cdot ln(1 - 1n^2) approx n cdot (-1n^2) = -1n
Agora, tomando o limite:
limn to infty -1n = 0
Então, o limite do logaritmo é 0, o que significa que o limite original é .

Passo 5

Concluímos que:
limn to infty xn yn = 1
Agora, sabemos que limn to infty xn yn = (limn to infty xn) (limn to infty yn) = e cdot limn to infty yn = 1 e queremos encontrar e cdot limn to infty yn = 1 implies limn to infty yn = 1e = e^-1 . Já que:
Podemos resolver para :

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é .

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