Mostre que, para todo r in Q,
lim n infty(1+rn)^n=e^r
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que r=p / q>0; considere a subsequência com índices n=p m; nesse caso, (1+r / n)^n=[(1+1 / q m)^q m]^p / q.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para qualquer número racional , o limite de quando tende ao infinito é igual a . Isso envolve conceitos de limites e exponenciais, e vamos usar uma estratégia específica para números racionais, ou seja, aqueles que podem ser escritos como fração , onde e são inteiros positivos. Vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências e como manipular esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever (1 + rn)^n = (1 + pqn)^n como uma fração (1 + pq n)^n , onde e são inteiros positivos. Assim, temos:
Simplificando a fração dentro do parênteses:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma subsequência específica de (1 + pq cdot p m)^p m = (1 + 1q m)^p m para facilitar o cálculo do limite. Vamos definir , onde é um inteiro positivo que cresce até o infinito. Substituindo por na expressão, temos:

Passo 4

Podemos reescrever a expressão acima como:
[(1 + 1q m)^q m]^pq
Aqui, estamos separando a potência em duas partes: e .

Passo 5

Sabemos que quando limm to infty (1 + 1k m)^k m = e tende ao infinito, a expressão se aproxima de . Isso é por causa da definição do número de Euler :
onde é uma constante positiva, no caso aqui .

Passo 6

Portanto, podemos substituir essa parte da expressão pelo limite conhecido:
[limm to infty (1 + 1q m)^q m]^pq = e^pq = e^r
Já que .

Resposta

Assim, mostramos que:
limn to infty (1 + rn)^n = e^r
para todo .

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