Mostre que, para todo
,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que
; considere a subsequência com índices
; nesse caso,
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para qualquer número racional
, o limite de
quando
tende ao infinito é igual a
. Isso envolve conceitos de limites e exponenciais, e vamos usar uma estratégia específica para números racionais, ou seja, aqueles que podem ser escritos como fração
, onde
e
são inteiros positivos. Vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências e como manipular esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
como uma fração
, onde
e
são inteiros positivos. Assim, temos:
Simplificando a fração dentro do parênteses:
Passo 3
Agora, vamos escolher uma subsequência específica de
para facilitar o cálculo do limite. Vamos definir
, onde
é um inteiro positivo que cresce até o infinito. Substituindo
por
na expressão, temos:
Passo 4
Podemos reescrever a expressão acima como:
Aqui, estamos separando a potência
em duas partes:
e
.
Passo 5
Sabemos que quando
tende ao infinito, a expressão
se aproxima de
. Isso é por causa da definição do número de Euler
:
onde
é uma constante positiva, no caso aqui
.
Passo 6
Portanto, podemos substituir essa parte da expressão pelo limite conhecido:
Já que
.
Resposta
Assim, mostramos que:
para todo
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
; verifique que
e conclua que
. (Pode ser mais conveniente considerar primeiro
.)
Se
e
então
.
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.