Mostre que, para todo ,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que ; considere a subsequência com índices ; nesse caso, .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para qualquer número racional , o limite de quando tende ao infinito é igual a . Isso envolve conceitos de limites e exponenciais, e vamos usar uma estratégia específica para números racionais, ou seja, aqueles que podem ser escritos como fração , onde e são inteiros positivos. Vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências e como manipular esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever como uma fração , onde e são inteiros positivos. Assim, temos:
Simplificando a fração dentro do parênteses:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma subsequência específica de para facilitar o cálculo do limite. Vamos definir , onde é um inteiro positivo que cresce até o infinito. Substituindo por na expressão, temos:

Passo 4

Podemos reescrever a expressão acima como:
Aqui, estamos separando a potência em duas partes: e .

Passo 5

Sabemos que quando tende ao infinito, a expressão se aproxima de . Isso é por causa da definição do número de Euler :
onde é uma constante positiva, no caso aqui .

Passo 6

Portanto, podemos substituir essa parte da expressão pelo limite conhecido:
Já que .

Resposta

Assim, mostramos que:
para todo .

Exercícios relacionados

Sejam e ; verifique que e conclua que . (Pode ser mais conveniente considerar primeiro .)
Se e então .
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então não é limitada; em particular, não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.