Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se
, então
converge. ( )
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre séries infinitas e limites. A gente precisa decidir se a afirmação “Se
, então
converge” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de cálculo de séries.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que, para uma série
convergir, é necessário que o limite dos termos
quando
vai para o infinito seja zero. Ou seja, se a série converge, então
. Mas calma aí! Isso não significa que se
, a série necessariamente converge. Essa é uma condição necessária, mas não suficiente.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação do enunciado é falsa, vamos dar um contraexemplo. Considere a série harmônica:
Aqui, temos que
e
. No entanto, essa série é conhecida por divergir. Mesmo com os termos se aproximando de zero, a soma total cresce sem limite.
Resposta
Falso.
Exercícios relacionados
Dada a função
, calcule
.
Limites que representam a taxa de variação instantânea
aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(a) , no ponto
.
(a)
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Dada a função
:
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo , com
.
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo