Seja x(t) = -t^3 + 7t^2 - 10t para t ∈ [0, 5] a equação do movimento de uma partícula, onde x é medido em centímetros e t em segundos. Em que momento a aceleração se anula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula, dado pela função , onde é a posição em centímetros e é o tempo em segundos, no intervalo de de 0 a 5 segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir em que momento, ou seja, em que valor de , a aceleração dessa partícula é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar a função duas vezes para encontrar a aceleração.

Passo 3

Vamos começar encontrando a velocidade, que é a primeira derivada de . Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, encontramos a aceleração, que é a derivada da velocidade. Então, derivando em relação a :

Passo 5

Queremos saber quando a aceleração é zero. Então, igualamos a zero e resolvemos para :

Passo 6

Resolvendo a equação:

Resposta

A aceleração se anula em aproximadamente segundos.

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