Os limites a seguir apresentam indeterminações do tipo % / 0. Calcule-os: lim x 0((x+2)^3-8x)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente precisa calcular o limite da função (x+2)^3-8x quando x se aproxima de 0. Isso é um exercício de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre como resolver limites que dão uma forma de indeterminação, que aqui é do tipo 00. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão do numerador.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (x+2)^3. Para isso, usamos a fórmula do binômio de Newton:
(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 cdot 2 + 3x cdot 2^2 + 2^3
Fazendo as contas:
x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão original do limite:
(x+2)^3 - 8x = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - 8x
Simplificando:
x^3 + 6x^2 + 12xx

Passo 4

Vamos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador por x:
x^3x + 6x^2x + 12xx = x^2 + 6x + 12

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite quando x se aproxima de 0:
limx to 0 (x^2 + 6x + 12) = (0)^2 + 6(0) + 12 = 0 + 0 + 12 = 12

Resposta

O limite é 12.

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