Uma linha sem perdas de 50 Omega tem 4,2 metros de comprimento. Para a frequência de operação de 300 MHz , a impedância de entrada vista no centro da linha é 80-j 60 Omega. Calcule Z in na entrada da linha e o coeficiente de reflexão na carga. Considere u=0,8 c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma linha de transmissão sem perdas com uma impedância característica de 50,Ω e comprimento de 4,2 metros. A frequência de operação é 300,MHz, e no centro da linha a impedância vista é 80 - j60,Ω. Precisamos calcular a impedância de entrada na extremidade da linha ( Zin) e o coeficiente de reflexão na carga. Para isso, vamos usar conceitos de linhas de transmissão, como a impedância característica, o comprimento da linha em termos de comprimento de onda, e o coeficiente de reflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comprimento da linha em relação ao comprimento de onda. Sabemos que a velocidade de propagação u é 0,8c, onde c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8,m/s). A frequência f é 300,MHz, que é 300 times 10^6,Hz.
Vamos calcular o comprimento de onda lambda:
lambda = uf = 0,8 times 3 times 10^8300 times 10^6 = 0,8 times 3 times 10^83 times 10^8 = 0,8 times 1 = 0,8,m
Então, o comprimento da linha l = 4,2,m corresponde a quantos comprimentos de onda?
llambda = 4,20,8 = 5,25 lambda

Passo 3

Agora, sabemos que o comprimento total da linha é 5,25 vezes o comprimento de onda. Na teoria de linhas de transmissão, a impedância de entrada Zin para uma linha de comprimento l é dada por:
Zin = Z0 ZL + j Z0 tan(beta l)Z0 + j ZL tan(beta l)
Onde:
  • Z0 é a impedância característica ( 50,Ω),
  • ZL é a impedância na carga,
  • beta = 2pilambda é a constante de fase.
Mas como já conhecemos a impedância no centro da linha, podemos usar a propriedade de simetria para facilitar o cálculo.

Passo 4

Em uma linha de transmissão simétrica, a impedância vista no centro ( l = lambda2 times n, onde n é inteiro) pode ser relacionada à impedância na entrada e na carga. Porém, como 5,25 comprimentos de onda não são inteiros, vamos precisar usar a relação direta para calcular Zin.
Primeiro, vamos encontrar o ângulo de fase beta l:
beta = 2pilambda = 2pi0,8 = 5pi2,rad/m
Então,
beta l = 5pi2 times 4,2 = 5pi2 times 4 + 5pi2 times 0,2 = 10pi + pi = 11pi,rad
Como o ângulo é periódico a cada 2pi, podemos simplificar:
11pi mod 2pi = pi,rad

Passo 5

Com beta l = pi, o tan(beta l) é:
tan(pi) = 0
Substituindo na fórmula de Zin:
Zin = Z0 ZL + j Z0 times 0Z0 + j ZL times 0 = Z0 ZLZ0 = ZL
Mas no centro da linha, a impedância vista é 80 - j60,Ω, e sabendo que após um múltiplo de pi a impedância de entrada é igual à impedância na carga, temos:
Zin = ZL = 80 - j60,Ω

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente de reflexão Gamma na carga, que é dado por:
Gamma = ZL - Z0ZL + Z0
Substituindo os valores:
Gamma = (80 - j60) - 50(80 - j60) + 50 = 30 - j60130 - j60
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Gamma = (30 - j60)(130 + j60)(130 - j60)(130 + j60) = 3900 + 1800j - 7800j - j^2 3600130^2 + 60^2 = 3900 - 6000j + 360016900 + 3600
Lembrando que j^2 = -1.
Gamma = 7500 - 6000j20500 = 750020500 - j600020500 approx 0,366 - j0,293

Resposta

A impedância de entrada na extremidade da linha é Zin = 80 - j60,Ω, e o coeficiente de reflexão na carga é aproximadamente Gamma = 0,366 - j0,293.

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