Para uma LT dita sem distorção, temos as seguintes equivalências:
RL=GC
alpha=raizR G ; beta=omega raizL C
Considere que esta linha opera na frequência de 120 MHz e possui os seguintes parâmetros distribuídos identificados: R=20 Omega / m, L=0,3 mu H / m e C=63 p F / m. (a) Calcule gamma, u e Z0. (b) A que distância uma onda de tensão deve se propagar nesta linha até que sua amplitude decaia 20% do seu valor inicial? © Que distância a onda deve se propagar para sofrer uma mudança de fase de 45^circ ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre linhas de transmissão (LT) sem distorção. O que isso significa? Basicamente, estamos lidando com como sinais elétricos se propagam ao longo de cabos ou linhas de transmissão sem perder a forma original. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar conceitos de impedância característica, constante de propagação e velocidade de propagação. Os parâmetros que temos são a resistência por metro ( R = 20 , Omega/m), a indutância por metro ( L = 0,3 , mu H/m), a capacitância por metro ( C = 63 , pF/m) e a frequência de operação de 120 MHz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a impedância característica ( Z0) da linha de transmissão. A impedância característica é importante porque ela determina como os sinais são refletidos ou transmitidos na linha. A fórmula para Z0 em uma LT sem distorção é:
Z0 = raizR + jomega LG + jomega C
Mas como a linha é sem distorção, podemos simplificar para:
Z0 = raizRG
No entanto, no enunciado, temos a relação RL = GC. Vamos usar isso para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a constante de propagação ( gamma). A constante de propagação é uma quantidade complexa que descreve como o sinal se propaga e atenua ao longo da linha. Ela é dada por:
gamma = alpha + jbeta
Onde:
  • alpha é a constante de atenuação (em nepers por metro),
  • beta é a constante de fase (em radianos por metro).
As fórmulas para alpha e beta são:
alpha = raizR G
beta = omega raizL C
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Primeiro, calculamos alpha:
Dado R = 20 , Omega/m e, pela relação RL = GC, podemos encontrar G:
G = R CL = 20 times 63 times 10^-120,3 times 10^-6 = 20 times 63 times 10^-120,3 times 10^-6 = 1260 times 10^-120,3 times 10^-6 = 4,2 times 10^-3 , S/m
Agora, calculamos alpha:
alpha = raizR G = raiz20 times 4,2 times 10^-3 = raiz0,084 approx 0,29 , Np/m

Passo 5

Agora, vamos calcular beta. Primeiro, precisamos da frequência angular omega:
omega = 2 pi f = 2 pi times 120 times 10^6 approx 754 times 10^6 , rad/s
Agora, usando L = 0,3 times 10^-6 , H/m e C = 63 times 10^-12 , F/m:
beta = omega raizL C = 754 times 10^6 times raiz0,3 times 10^-6 times 63 times 10^-12
Calculando o produto dentro da raiz:
0,3 times 10^-6 times 63 times 10^-12 = 18,9 times 10^-18
Então:
raiz18,9 times 10^-18 approx 4,35 times 10^-9
Portanto:
beta = 754 times 10^6 times 4,35 times 10^-9 approx 3,28 , rad/m

Passo 6

Agora, temos alpha e beta, então podemos escrever a constante de propagação completa:
gamma = 0,29 + j3,28 , Np/m

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade de propagação ( u). A velocidade de propagação é a velocidade com que a onda se move ao longo da linha de transmissão. Ela é dada por:
u = omegabeta
Usando os valores que já calculamos:
u = 754 times 10^63,28 approx 2,3 times 10^8 , m/s

Passo 8

Finalmente, recapitulando o que fizemos no item (a):
  • Calculamos gamma = 0,29 + j3,28 , Np/m
  • Calculamos a velocidade de propagação u approx 2,3 times 10^8 , m/s
  • Calculamos a impedância característica Z0 = raizRG = raiz204,2 times 10^-3 approx 69 , Omega

Resposta

(a) A constante de propagação é gamma = 0,29 + j3,28 , Np/m, a velocidade de propagação é u approx 2,3 times 10^8 , m/s e a impedância característica é Z0 approx 69 , Omega.

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