Uma linha de transmissão comum é o cabo da antena usado para antenas de TV. O cabo é feito de dois fios separados por um fino dielétrico na forma de um cabo plano. A impedância característica desses cabos é 300 Omega. Se os condutores forem de cobre, separados por ar (espaço livre), e têm 1 mm de espessura, calcule: Calcule a velocidade de fase e a constante de fase ao receber o canal VHF 3 (63 MHz) e o canal UHF 69 (803 MHz).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um cabo de antena usado em TV, que é tipo uma linha de transmissão com impedância característica de 300,Omega. Os fios são de cobre, separados por ar, com cada fio medindo 1 mm de espessura. Precisamos calcular a velocidade de fase e a constante de fase para duas frequências: VHF 3 (63 MHz) e UHF 69 (803 MHz).
Vamos usar conceitos de linhas de transmissão e ondas eletromagnéticas pra resolver isso. Precisamos saber a relação entre a velocidade de propagação, a frequência e o comprimento de onda, além de como a constante de fase está ligada a esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade de fase. A velocidade de fase ( vp) numa linha de transmissão é a velocidade que a onda eletromagnética se propaga ao longo do cabo. Ela está relacionada à frequência ( f) e ao comprimento de onda ( lambda) pela fórmula:
vp = f cdot lambda
Mas para encontrar vp, também podemos usar a relação com a permissividade ( epsilon) e permeabilidade ( mu) do meio. Como o cabo está separado por ar, a permissividade é a do vácuo ( epsilon0) e a permeabilidade também é a do vácuo ( mu0).
A velocidade de fase no vácuo é dada por:
vp = 1raizmu0 epsilon0
Sabemos que:
mu0 = 4pi times 10^-7 H/m
epsilon0 = 8,854 times 10^-12 F/m
Calculando:
vp = 1raiz4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12 approx 3 times 10^8 m/s
Então, a velocidade de fase é aproximadamente 3 times 10^8 metros por segundo, igual à velocidade da luz no vácuo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a constante de fase ( beta). A constante de fase está relacionada ao comprimento de onda e à frequência pela fórmula:
beta = 2pilambda
Mas, sabemos que:
lambda = vpf
Substituindo na equação de beta:
beta = 2pi fvp
Já temos vp = 3 times 10^8 m/s, então podemos calcular beta para cada frequência.

Passo 4

Vamos calcular beta para o canal VHF 3 com f = 63 MHz:
f = 63 times 10^6 Hz
Substituindo na fórmula:
beta = 2pi times 63 times 10^63 times 10^8
beta = 2pi times 63300
beta = 126pi300
beta = 21pi50
beta approx 1,32 rad/m

Passo 5

Agora, vamos calcular beta para o canal UHF 69 com f = 803 MHz:
f = 803 times 10^6 Hz
Substituindo na fórmula:
beta = 2pi times 803 times 10^63 times 10^8
beta = 2pi times 803300
beta = 1606pi300
beta approx 16,8 rad/m

Resposta

A velocidade de fase é aproximadamente 3 times 10^8 metros por segundo. A constante de fase é cerca de 1,32 rad/m para o canal VHF 3 (63 MHz) e 16,8 rad/m para o canal UHF 69 (803 MHz).

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