Uma linha de transmissão sem perdas de 60 Omega é conectada a um gerador, que tem Vg= 10 ang<= 0^circ Vr m s e Zg=60-j 40 Omega e é terminada por uma carga de j 40 Omega. Se a linha tem um comprimento de 100 metros e beta=0,25 rad / m, calcule a impedância de entrada e a tensão: A 4 m do gerador;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre linhas de transmissão e impedâncias. Precisamos calcular a impedância de entrada e a tensão em um ponto específico da linha. Para resolver isso, vamos usar conceitos de linhas de transmissão, impedância característica, e como elas se comportam ao longo da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Impedância característica da linha, $ Z_0 = 60,\Omega $
  • Tensão do gerador, $ V_g = 10 \angle 0^{\circ} $ V rms
  • Impedância do gerador, $ Z_g = 60 - j40,\Omega $
  • Impedância da carga, $ Z_L = j40,\Omega $
  • Comprimento da linha, $ l = 100 $ metros
  • Constante de propagação, $ \beta = 0,25,rad/m $
Vamos precisar usar a fórmula da impedância de entrada para uma linha de transmissão sem perdas, que é:
Z0 = 60,Omega

Passo 3

Vamos calcular $ \tan(\beta l) $. Primeiro, multiplicamos $ \beta $ pelo comprimento da linha $ l $:
tan(beta l)
Agora, calculamos o valor de $ \tan(25) $. Usando uma calculadora:
beta

Passo 4

Substituímos os valores na fórmula da impedância de entrada:
Zin = 60,Omega times j40,Omega + j60,Omega times 0,466360,Omega + j40,Omega times 0,4663
Primeiro, calculamos os numeradores e denominadores:
Numerador:
j40 + j60 times 0,4663 = j40 + j27,978 = j67,978,Omega
Denominador:
60 + j40 times 0,4663 = 60 + j18,652,Omega

Passo 5

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
j67,97860 + j18,652
Para facilitar a divisão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
j67,978 times (60 - j18,652)(60 + j18,652)(60 - j18,652)
Calculamos o denominador:
60^2 + 18,652^2 = 3600 + 347,1 approx 3947,1,Omega^2
Calculamos o numerador:
j67,978 times 60 = j4078,68
j67,978 times (-j18,652) = 67,978 times 18,652 = 1268,1,Omega
Então,
j4078,68 + 1268,1 = 1268,1 + j4078,68,Omega
Agora, dividimos:
1268,1 + j4078,683947,1 approx 0,321 + j1,034,Omega
Multiplicando pelo $ Z_0 $:
Z0

Passo 6

Agora, vamos calcular a tensão a 4 metros do gerador. Primeiro, encontramos a relação entre a tensão no ponto A e a tensão no início da linha.
Usamos a seguinte fórmula para a tensão em uma distância $ d $ da fonte:
d
Calculamos $ e^{-j\beta d} $:
V(d) = Vg times ZinZg + Zin times e^-jbeta d
e^-jbeta d

Passo 7

Substituímos os valores na fórmula da tensão:
V(d) = 10,V times 19,26 + j62,0460 - j40 + 19,26 + j62,04 times (0,5403 - j0,8415)
Calculamos o denominador:
60 - j40 + 19,26 + j62,04 = 79,26 + j22,04,Omega
Agora, dividimos:
19,26 + j62,0479,26 + j22,04
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
(19,26 + j62,04)(79,26 - j22,04)79,26^2 + 22,04^2
Calculando o denominador:
79,26^2 + 22,04^2 approx 6282,6 + 486,0 approx 6768,6
Calculando o numerador:
19,26 times 79,26 = 1524,3
19,26 times (-j22,04) = -j424,8
j62,04 times 79,26 = j4919,5
j62,04 times (-j22,04) = 62,04 times 22,04 = 1365,3
Então,
1524,3 - j424,8 + j4919,5 + 1365,3 = 2889,6 + j4494,7,Omega
Agora, dividimos:
2889,6 + j4494,76768,6 approx 0,427 + j0,664
Multiplicando pela exponencial:
V(d) = 10 times (0,427 + j0,664) times (0,5403 - j0,8415)
Distribuímos:
V(d) = 10 times [0,427 times 0,5403 + 0,427 times (-j0,8415) + j0,664 times 0,5403 + j0,664 times (-j0,8415)]
= 10 times [0,2307 - j0,3594 + j0,3590 + 0,5593]
= 10 times [0,2307 + 0,5593 + (-j0,3594 + j0,3590)]
= 10 times [0,7900 - j0,0004] approx 7,900,V

Resposta

A impedância de entrada é aproximadamente $ 19,26 + j62,04,\Omega $ e a tensão a 4 metros do gerador é cerca de $ 7,90,V $.

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