Uma linha de transmissão sem perdas possui impedância característica igual a 50 Omega e uma onda de tensão de 10 V e comprimento de onda de 1 m propagando-se ao longo de sua extensão. A carga possui uma impedância de 100+j 50 Omega. Calcule: A intensidade e o ângulo de fase do coeficiente de reflexão na carga; (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Estamos lidando com uma linha de transmissão sem perdas, que tem uma impedância característica de 50,Omega. Tem uma onda de tensão de 10 V com comprimento de onda de 1 m viajando por essa linha. Na carga, a impedância é 100 + j50,Omega. Nosso objetivo é calcular a intensidade (ou módulo) e o ângulo de fase do coeficiente de reflexão na carga. Para isso, vamos precisar usar o conceito de coeficiente de reflexão na teoria de linhas de transmissão.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula do coeficiente de reflexão ( Gamma) em uma linha de transmissão:
Gamma = ZL - Z0ZL + Z0
Onde:
  • ZL é a impedância da carga.
  • Z0 é a impedância característica da linha.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. A impedância da carga ZL é 100 + j50,Omega e a impedância característica Z0 é 50,Omega. Então:
Gamma = (100 + j50) - 50(100 + j50) + 50 = 50 + j50150 + j50

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária do denominador:
Gamma = (50 + j50)(150 - j50)(150 + j50)(150 - j50)
Calculando o denominador:
(150 + j50)(150 - j50) = 150^2 - (j50)^2 = 22500 - (-2500) = 22500 + 2500 = 25000
No numerador:
(50 + j50)(150 - j50) = 50 times 150 + 50 times (-j50) + j50 times 150 + j50 times (-j50) = 7500 - j2500 + j7500 - j^2 2500
Lembrando que j^2 = -1, então:
7500 - j2500 + j7500 + 2500 = 10000 + j5000

Passo 5

Agora, temos:
Gamma = 10000 + j500025000 = 1000025000 + j500025000 = 0,4 + j0,2

Passo 6

Para encontrar a intensidade (magnitude) do coeficiente de reflexão, usamos:
|Gamma| = raiz(0,4)^2 + (0,2)^2 = raiz0,16 + 0,04 = raiz0,2 approx 0,447
Para o ângulo de fase ( theta), usamos:
theta = arctan(Im(Gamma)Re(Gamma)) = arctan(0,20,4) = arctan(0,5) approx 26,57^circ

Resposta

O coeficiente de reflexão na carga tem uma intensidade de aproximadamente 0,447 e um ângulo de fase de aproximadamente 26,57^circ.

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