Um líquido contendo um material para cobrir uma placa fotográfica escoa formando uma película de espessura
. A placa se movimenta a uma velocidade
mediante uma fita rolante que faz um ângulo
com a horizontal. Se pede:
a) A partir da equação de Navier-Stokes encontrar a equação diferencial e as condiçōes de contorno que representa o sistema.
a) A partir da equação de Navier-Stokes encontrar a equação diferencial e as condiçōes de contorno que representa o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem um líquido formando uma película de espessura
em uma placa fotográfica que está se movendo com velocidade
. Essa placa está sendo puxada por uma fita rolante que faz um ângulo de
com a horizontal. Nosso objetivo é usar a equação de Navier-Stokes para encontrar a equação diferencial que descreve esse sistema, além das condições de contorno necessárias. Vamos precisar entender a equação de Navier-Stokes e aplicar alguns conceitos de fluxo laminar em filmes finos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Navier-Stokes. Ela descreve o movimento de fluidos e leva em conta a viscosidade, a pressão e as forças externas. Para um fluxo laminar em uma película fina, podemos simplificar a equação considerando apenas as componentes relevantes.
A equação de Navier-Stokes na direção do movimento (vamos chamar de
) para um fluxo incompressível e estacionário é:
Onde:
-
é a densidade do líquido, -
e são as componentes da velocidade nas direções e , -
é a pressão, -
é a viscosidade dinâmica, -
é a aceleração da gravidade, -
é o ângulo da fita rolante.
Passo 3
Como a película é muito fina (
), podemos assumir que as variações na direção
são muito menores que na direção
. Isso nos permite simplificar a equação, descartando os termos que envolvem derivadas em relação a
. Além disso, como o fluxo é estacionário e laminar, podemos ignorar os termos não lineares
e
. Assim, a equação simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos considerar as condições de contorno para resolver essa equação diferencial. As condições de contorno geralmente incluem a velocidade no limite da parede (a placa) e a condiç��o na superfície livre do líquido.
-
Na parede (y = 0): A velocidade do líquido deve ser igual à velocidade da placa, já que não há deslizamento. Então, temos:
-
Na superfície livre (y = \delta): Assume-se que a tensão de cisalhamento é zero, pois não há forças viscosas atuando além da superfície livre. Além disso, podemos supor que a velocidade na superfície livre seja zero em relação ao ar, então:
Passo 5
Com a equação diferencial e as condições de contorno estabelecidas, resumimos o sistema da seguinte forma:
Equação Diferencial:
Condições de Contorno:
Resposta
A equação diferencial que representa o sistema é:
E as condições de contorno são: