Um líquido contendo um material para cobrir uma placa fotográfica escoa formando uma película de espessura de. A placa se movimenta a uma velocidade U=0,5 m / s mediante uma fita rolante que faz um ângulo theta=10^circ com a horizontal. Se pede:
a) A partir da equação de Navier-Stokes encontrar a equação diferencial e as condiçōes de contorno que representa o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem um líquido formando uma película de espessura em uma placa fotográfica que está se movendo com velocidade . Essa placa está sendo puxada por uma fita rolante que faz um ângulo de com a horizontal. Nosso objetivo é usar a equação de Navier-Stokes para encontrar a equação diferencial que descreve esse sistema, além das condições de contorno necessárias. Vamos precisar entender a equação de Navier-Stokes e aplicar alguns conceitos de fluxo laminar em filmes finos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Navier-Stokes. Ela descreve o movimento de fluidos e leva em conta a viscosidade, a pressão e as forças externas. Para um fluxo laminar em uma película fina, podemos simplificar a equação considerando apenas as componentes relevantes.
A equação de Navier-Stokes na direção do movimento (vamos chamar de rho ( u partial upartial x + v partial upartial y ) = -partial ppartial x + mu ( partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 ) + rho g sintheta ) para um fluxo incompressível e estacionário é:
Onde:
  • é a densidade do líquido,
  • e são as componentes da velocidade nas direções e ,
  • é a pressão,
  • é a viscosidade dinâmica,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o ângulo da fita rolante.

Passo 3

Como a película é muito fina ( 0 = -partial ppartial x + mu partial^2 upartial y^2 + rho g sintheta ), podemos assumir que as variações na direção são muito menores que na direção . Isso nos permite simplificar a equação, descartando os termos que envolvem derivadas em relação a . Além disso, como o fluxo é estacionário e laminar, podemos ignorar os termos não lineares e . Assim, a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos considerar as condições de contorno para resolver essa equação diferencial. As condições de contorno geralmente incluem a velocidade no limite da parede (a placa) e a condiç��o na superfície livre do líquido.
  1. Na parede (y = 0): A velocidade do líquido deve ser igual à velocidade da placa, já que não há deslizamento. Então, temos:
    u(0) = U
  2. Na superfície livre (y = \delta): Assume-se que a tensão de cisalhamento é zero, pois não há forças viscosas atuando além da superfície livre. Além disso, podemos supor que a velocidade na superfície livre seja zero em relação ao ar, então:
    partial upartial yg|y=de

Passo 5

Com a equação diferencial e as condições de contorno estabelecidas, resumimos o sistema da seguinte forma:
Equação Diferencial:
mu d^2 ud y^2 - rho g sintheta = d pd x
Condições de Contorno:
u(0) = U
d ud yg|y=de

Resposta

A equação diferencial que representa o sistema é:
mu d^2 ud y^2 - rho g sintheta = d pd x
E as condições de contorno são:
u(0) = U
d ud yg|y=de

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hL=f LD v^22 g
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