Um líquido contendo um material para cobrir uma placa fotográfica escoa formando uma película de espessura . A placa se movimenta a uma velocidade mediante uma fita rolante que faz um ângulo com a horizontal. Se pede:
a) A partir da equação de Navier-Stokes encontrar a equação diferencial e as condiçōes de contorno que representa o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem um líquido formando uma película de espessura em uma placa fotográfica que está se movendo com velocidade . Essa placa está sendo puxada por uma fita rolante que faz um ângulo de com a horizontal. Nosso objetivo é usar a equação de Navier-Stokes para encontrar a equação diferencial que descreve esse sistema, além das condições de contorno necessárias. Vamos precisar entender a equação de Navier-Stokes e aplicar alguns conceitos de fluxo laminar em filmes finos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Navier-Stokes. Ela descreve o movimento de fluidos e leva em conta a viscosidade, a pressão e as forças externas. Para um fluxo laminar em uma película fina, podemos simplificar a equação considerando apenas as componentes relevantes.
A equação de Navier-Stokes na direção do movimento (vamos chamar de ) para um fluxo incompressível e estacionário é:
Onde:
é a densidade do líquido,
e são as componentes da velocidade nas direções e ,
é a pressão,
é a viscosidade dinâmica,
é a aceleração da gravidade,
é o ângulo da fita rolante.
Passo 3
Como a película é muito fina (), podemos assumir que as variações na direção são muito menores que na direção . Isso nos permite simplificar a equação, descartando os termos que envolvem derivadas em relação a . Além disso, como o fluxo é estacionário e laminar, podemos ignorar os termos não lineares e . Assim, a equação simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos considerar as condições de contorno para resolver essa equação diferencial. As condições de contorno geralmente incluem a velocidade no limite da parede (a placa) e a condiç��o na superfície livre do líquido.
Na parede (y = 0): A velocidade do líquido deve ser igual à velocidade da placa, já que não há deslizamento. Então, temos:
Na superfície livre (y = \delta): Assume-se que a tensão de cisalhamento é zero, pois não há forças viscosas atuando além da superfície livre. Além disso, podemos supor que a velocidade na superfície livre seja zero em relação ao ar, então:
Passo 5
Com a equação diferencial e as condições de contorno estabelecidas, resumimos o sistema da seguinte forma: