Um líquido incompressível, com massa específica igual a
e viscosidade desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comprimento
, líquido é removido a uma taxa constante por unidade de comprimento de tal forma que a velocidade uniforme axial no tubo é
, onde
. Desenvolva expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e para o gradiente de pressão ao longo desta linha. Avalie a pressão de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 35 kPa (manométrica).
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre o escoamento de um líquido incompressível em um tubo. Precisamos encontrar a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e o gradiente de pressão nessa linha. Além disso, vamos calcular a pressão de saída sabendo que a pressão na entrada é de 35 kPa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a velocidade do fluxo fornecida:
onde:
-
é a velocidade máxima na entrada, -
é o comprimento da seção porosa, -
é a posição ao longo do tubo.
Passo 3
Para encontrar a aceleração (
) de uma partícula fluida, usamos a equação:
Isso significa que a aceleração é o produto da velocidade pela derivada da velocidade em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da velocidade
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
na equa��ão da aceleração:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da aceleração:
Passo 7
Para encontrar o gradiente de pressão (
), usamos a equação de momentum para fluxo unidimensional:
Onde
é a massa específica do líquido.
Passo 8
Isolando
:
Substituímos
da Passo 6:
Passo 9
Para encontrar a pressão de saída (
), integramos o gradiente de pressão ao longo do comprimento
:
Substituindo
:
Passo 10
Realizando a integração:
Passo 11
Agora, substituímos na equação da pressão de saída:
Calculando:
Portanto:
Resposta
A aceleração da partícula fluida é dada por
e o gradiente de pressão ao longo da linha de centro é
A pressão de saída é de aproximadamente 26,56 kPa.
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