Um líquido incompressível, com massa específica igual a 900 kg / m^3 e viscosidade desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comprimento L=0,3 m, líquido é removido a uma taxa constante por unidade de comprimento de tal forma que a velocidade uniforme axial no tubo é u(x)=U(1-x / 2 L), onde U=5 m / s. Desenvolva expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e para o gradiente de pressão ao longo desta linha. Avalie a pressão de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 35 kPa (manométrica).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre o escoamento de um líquido incompressível em um tubo. Precisamos encontrar a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e o gradiente de pressão nessa linha. Além disso, vamos calcular a pressão de saída sabendo que a pressão na entrada é de 35 kPa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade do fluxo fornecida:
u(x) = U(1 - x2L)
onde:
  • é a velocidade máxima na entrada,
  • é o comprimento da seção porosa,
  • é a posição ao longo do tubo.

Passo 3

Para encontrar a aceleração ( a = u dudx ) de uma partícula fluida, usamos a equação:
Isso significa que a aceleração é o produto da velocidade pela derivada da velocidade em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da velocidade dudx = ddx[ U(1 - x2L) ] = -U2L em relação a :

Passo 5

Substituindo a = u ( -U2L ) = -U cdot u2L na equa��ão da aceleração:

Passo 6

Agora, substituímos a(x) = -U cdot U(1 - x2L)2L = -U^22L(1 - x2L) na expressão da aceleração:

Passo 7

Para encontrar o gradiente de pressão ( rho a = -dPdx ), usamos a equação de momentum para fluxo unidimensional:
Onde é a massa específica do líquido.

Passo 8

Isolando dPdx = -rho a :
dPdx = -rho ( -U^22L(1 - x2L) ) = rho U^22L(1 - x2L)
Substituímos da Passo 6:

Passo 9

Para encontrar a pressão de saída ( Psaída = Pentrada - integral0^L dPdx dx í), integramos o gradiente de pressão ao longo do comprimento Psaída = Pentrada - integral0^L rho U^22L(1 - x2L) dx :
í
Substituindo :
í

Passo 10

Realizando a integração:
integral0^L rho U^22L(1 - x2L) dx = rho U^22L [ x - x^24L ]0^L = rho U^22L [ L - L^24L ] = rho U^22L ( L - L4 ) = rho U^22L cdot 3L4 = 3rho U^28

Passo 11

Agora, substituímos na equação da pressão de saída:
Psaída = 35 , kPa - 3 cdot 900 , kg/m^3 cdot (5 , m/s)^28 í
Calculando:
3 cdot 900 cdot 258 = 67,5008 = 8,437,5 , Pa = 8,4375 , kPa
Portanto:
Psaída = 35 , kPa - 8,4375 , kPa = 26,5625 , kPa í

Resposta

A aceleração da partícula fluida é dada por
a(x) = -U^22L(1 - x2L)
e o gradiente de pressão ao longo da linha de centro é
dPdx = rho U^22L(1 - x2L)
A pressão de saída é de aproximadamente 26,56 kPa.

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