Um líquido incompressível, com massa específica igual a e viscosidade desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comprimento , líquido é removido a uma taxa constante por unidade de comprimento de tal forma que a velocidade uniforme axial no tubo é , onde . Desenvolva expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e para o gradiente de pressão ao longo desta linha. Avalie a pressão de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 35 kPa (manométrica).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre o escoamento de um líquido incompressível em um tubo. Precisamos encontrar a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e o gradiente de pressão nessa linha. Além disso, vamos calcular a pressão de saída sabendo que a pressão na entrada é de 35 kPa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade do fluxo fornecida:
onde:
  • é a velocidade máxima na entrada,
  • é o comprimento da seção porosa,
  • é a posição ao longo do tubo.

Passo 3

Para encontrar a aceleração ( ) de uma partícula fluida, usamos a equação:
Isso significa que a aceleração é o produto da velocidade pela derivada da velocidade em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da velocidade em relação a :

Passo 5

Substituindo na equa��ão da aceleração:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão da aceleração:

Passo 7

Para encontrar o gradiente de pressão ( ), usamos a equação de momentum para fluxo unidimensional:
Onde é a massa específica do líquido.

Passo 8

Isolando :
Substituímos da Passo 6:

Passo 9

Para encontrar a pressão de saída ( í), integramos o gradiente de pressão ao longo do comprimento :
í
Substituindo :
í

Passo 10

Realizando a integração:

Passo 11

Agora, substituímos na equação da pressão de saída:
í
Calculando:
Portanto:
í

Resposta

A aceleração da partícula fluida é dada por
e o gradiente de pressão ao longo da linha de centro é
A pressão de saída é de aproximadamente 26,56 kPa.

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