- Lista 01: Resolva as seguintes equações separáveis
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você enviou! A equação é
. Estamos lidando com equações diferenciais separáveis, que são um tipo de equação onde podemos separar as variáveis
e
para integrar cada lado individualmente. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para separar essas variáveis e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa é uma equação diferencial separável. Isso significa que a equação pode ser escrita de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
fiquem do outro. Isso facilita a integração e a solução da equação.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Começamos multiplicando ambos os lados por
e por
para isolar
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitivas que, quando derivadas, nos dão de volta os termos originais.
Passo 5
Vamos calcular as integrais de cada lado:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Onde
e
são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante
:
Passo 6
Finalmente, vamos resolver para
para obter a solução explícita da equação diferencial:
Podemos simplificar a constante
apenas para
, já que é uma constante arbitrária:
E isolando
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
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(a)
Questão 3. (2 pontos) Uma carga eleétrica é distribuida sobre o retângulo
. Se a a densidade de carga é dada por
determine a carga total.
determine a carga total.
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(f)