Questão 3. (2 pontos) Uma carga eleétrica é distribuida sobre o retângulo 1 <= x <= 2, 2 <= y <= 5. Se a a densidade de carga é dada por sigma(x, y) = x^2 + 2xy
determine a carga total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma carga elétrica distribuída em um retângulo definido por e . A densidade de carga é dada por . Nosso objetivo é encontrar a carga total nessa região. Para isso, vamos usar integração dupla, que é uma técnica matemática para somar pequenas porções de carga em toda a área do retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga total pode ser calculada integrando a densidade de carga sobre a área do retângulo. Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Isso significa que vamos tratar como constante nessa etapa. A integral fica:

Passo 4

Resolvendo cada parte separadamente:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das integrais:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Isso separa em duas integrais:

Passo 7

Resolvendo cada integral:
Para :
Para :

Resposta

Somando as duas partes, a carga total é:
Então, a carga total distribuída sobre o retângulo é 38,5 unidades de carga.

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