- Lista 01: Resolva as seguintes equações separáveis
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial separável
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
como
para facilitar a manipulação. Então, a equação fica:
Isso é útil porque em equações separáveis, conseguimos colocar todas as
de um lado e todas as
do outro.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis. Multiplicamos ambos os lados por
e por
para isolar
e
em lados opostos:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis
e
, o que facilita a integração.
Passo 4
Com as variáveis separadas, agora vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 5
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração, que podemos combinar em uma só constante
.
Passo 6
Juntando as duas integrais, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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