• Lista 01: Resolva as seguintes equações separáveis
    (f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. A gente vai precisar entender como separar as variáveis e integrar os dois lados. A equação que temos é:

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Vamos isolar e de cada lado:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar os dois lados. A gente integra em relação a do lado esquerdo e em relação a do lado direito:

Passo 4

Vamos calcular a integral do lado esquerdo, que é . Para isso, usamos por partes. Seja:
  • então
  • então
Aplicando integração por partes:

Passo 5

Agora, integramos o lado direito:

Passo 6

Juntando as integrais dos dois lados, temos:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Passo 8

Substituímos de volta na equação geral:

Passo 9

Finalmente, isolamos para obter a solução implícita da equação diferencial:

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:

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