- Lista 01: Resolva as seguintes equações separáveis
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. A gente vai precisar entender como separar as variáveis e integrar os dois lados. A equação que temos é:
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Vamos isolar
e
de cada lado:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar os dois lados. A gente integra em relação a
do lado esquerdo e em relação a
do lado direito:
Passo 4
Vamos calcular a integral do lado esquerdo, que é
. Para isso, usamos por partes. Seja:
-
então -
então
Aplicando integração por partes:
Passo 5
Agora, integramos o lado direito:
Passo 6
Juntando as integrais dos dois lados, temos:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Passo 8
Substituímos
de volta na equação geral:
Passo 9
Finalmente, isolamos
para obter a solução implícita da equação diferencial:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
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