- Lista 01: Resolva as seguintes equações separáveis
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável que é dada por:
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas de
em relação a
. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
de cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis. Vamos mover
para o outro lado:
Agora, temos
de um lado e
do outro, prontos para integrar.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos simplificar as constantes de integração. Podemos subtrair
de ambos os lados e combinar com
em uma única constante
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para determinar a constante
. Substituindo
e
na equação:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos isolar
para encontrar uma expressão para
:
Observamos que
é sempre menor ou igual a zero, já que
varia entre -1 e 1. Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial é
para todo
.
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Determine o domínio das funções vetoriais