- Lista 01: Resolva as seguintes equações separáveis
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável que a gente tem aqui:
A matéria que estamos usando é Equações Diferenciais, especificamente as equações separáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
e integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
de um lado:
Agora, temos
em termos de
, o que facilita a separação das variáveis.
Passo 3
Vamos identificar as funções que precisamos integrar. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
A integral de
é direta, e para o lado direito, precisamos simplificar o denominador.
Passo 4
O denominador é um polinômio quadrático:
. Vamos completar o quadrado para facilitar a integração:
Agora, a integral fica:
Passo 5
A integral do lado direito é uma forma padrão que se assemelha à integral de
, cuja antiderivada é
. Aqui,
e
:
Passo 6
Integrando o lado esquerdo:
Então, igualamos as integrais:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma só constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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