Lista de Exercícios
Curso: Engenharia Química
Disciplina: Fluidodinâmica de Processos Químicos
Professor: Robson Costa de Sousa
6) Quando um pequeno tubo é imerso em uma poça de líquido, a tensão superficial causa a formação de um menisco na superfície livre, para cima ou para baixo dependendo do ângulo de contato na interface líquido-sólido-gás. Experiências indicam que o módulo do efeito capilar, De, é uma função do diâmetro do tubo, D, do peso especifico do líquido, varphi, e da tensão superficial, sigma. Determine o numero de parâmetros Pi independentes que podem ser formados e os obtenha-os.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Fluidodinâmica de Processos Químicos que fala sobre como a tensão superficial afeta a formação do menisco em um tubo pequeno imerso em um líquido. O problema nos pede para descobrir quantos parâmetros dimensionais independentes (chamados de números adimensionais) podemos formar com as variáveis dadas e identificá-los. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a encontrar esses parâmetros sem a necessidade de conhecimento avançado em teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas no problema:
  1. Δh: módulo do efeito capilar (altura do menisco)
  2. D: diâmetro do tubo
  3. φ: peso específico do líquido
  4. σ: tensão superficial
Essas são as grandezas que nosso número de parâmetros irá depender.

Passo 3

Agora, identificamos as dimensões de cada uma dessas variáveis em termos de massa (M), comprimento (L) e tempo (T):
  1. Δh: comprimento (L)
  2. D: comprimento (L)
  3. φ: peso específico é massa por volume vezes aceleração da gravidade, então as dimensões são (considerando g como constante)
  4. σ: tensão superficial tem dimensões de força por comprimento, ou seja,

Passo 4

O Teorema de Buckingham Pi nos diz que o número de parâmetros adimensionais ( ) é igual ao número de variáveis menos o número de dimensões fundamentais envolvidas. Aqui, temos 4 variáveis e 3 dimensões (M, L, T).
Então, . Isso significa que podemos formar 1 parâmetro adimensional.

Passo 5

Para formar o parâmetro adimensional, escolhemos uma variável repetidora que abrange todas as dimensões fundamentais. Vamos escolher D (diâmetro do tubo) como repetidora.
Agora, expressamos o parâmetro adimensional Pi = De como:

Passo 6

Mas ainda temos outras variáveis para relacionar: φ e σ. Incorporando essas, podemos ajustar nosso parâmetro adimensional para incluir essas grandezas.
Usando as dimensões das variáveis, montamos a combinação:
Pi = sigmavarphi D
Isso torna nosso parâmetro adimensional completo.

Resposta

O número de parâmetros adimensionais independentes é 1, e o parâmetro formado é:
Pi = sigmavarphi D

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