Lista de Exercícios 3: Mecânica Clássica - Prof. José Crisanto
Escreva a expressão da energia potencial U(varphi) de um pêndulo simples (massa m, comprimento l ) em termos do ângulo varphi entre o pêndulo e a vertical. (Escolha o zero de U no ponto mais baixo.) Mostre que, para ângulos pequenos, U assume a forma da lei de Hooke U(varphi)=12 k varphi^2, em termos da coordenada varphi. O que significa k?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a energia potencial de um pêndulo simples. A gente vai trabalhar com conceitos de mecânica clássica, especificamente energia potencial e aproximações para pequenos ângulos. Precisamos encontrar a expressão da energia potencial $ U(\varphi) $ em função do ângulo $ \varphi $ e mostrar que, para ângulos pequenos, ela se parece com a lei de Hooke, que é $ U(\varphi) = \frac{1}{2} k \varphi^{2} $. Além disso, vamos entender o que representa a constante $ k $ nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão geral da energia potencial $ U(\varphi) $ de um pêndulo simples. A energia potencial gravitacional de um objeto é dada por $ U = mgh $, onde $ h $ é a altura em relação a um ponto de referência. Para o pêndulo, escolhemos o ponto mais baixo como referência, onde $ U = 0 $.
Quando o pêndulo está em um ângulo $ \varphi $ com a vertical, a altura $ h $ que a massa $ m $ alcança é $ h = l(1 - \cos\varphi) $, onde $ l $ é o comprimento do pêndulo. Então, a energia potencial fica:
U(varphi)

Passo 3

Agora, vamos considerar que o ângulo $ \varphi $ é pequeno. Quando $ \varphi $ é pequeno, podemos usar a aproximação $ \cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^{2}}{2} $. Esse é um truque matemático que facilita os cálculos para oscilações pequenas.
Substituindo essa aproximação na expressão da energia potencial, temos:
varphi
Então, simplificando:
varphi

Passo 4

Agora, vamos comparar essa expressão com a lei de Hooke, que diz que a energia potencial de uma mola é $ U = \frac{1}{2} k x^{2} $, onde $ k $ é a constante elástica e $ x $ é o deslocamento.
No nosso caso, a coordenada é o ângulo $ \varphi $, então podemos identificar:
U = 12 k x^2
Isso nos mostra que a constante $ k $ no caso do pêndulo é:
k

Resposta

A energia potencial do pêndulo para pequenos ângulos é $ U(\varphi) = \frac{1}{2} k \varphi^{2} $, onde $ k = mgl $. Ou seja, $ k $ representa a constante elástica equivalente no sistema do pêndulo.

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