Mostre que (4,6)=(2) em Z, em que (4,6) é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e (2) é o ideal principal gerado pelo 2.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o ideal gerado por 4 e 6, que é (4,6), é igual ao ideal gerado por 2, que é (2), no conjunto dos números inteiros Z. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funcionam os ideais em anéis, especialmente em Z. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o ideal (4,6). Em Z, o ideal gerado por 4 e 6 é o conjunto de todas as combinações lineares desses números, ou seja:
(4,6) = 4a + 6b mid a, b in Z
Isso significa que qualquer número que seja múltiplo de 2 pode ser escrito dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o ideal (2). Esse ideal é simplesmente:
(2) = 2k mid k in Z
Ou seja, é o conjunto de todos os múltiplos de 2.

Passo 4

Para mostrar que (4,6) = (2), precisamos provar duas coisas:
  1. Todo elemento de (4,6) está em (2).
  2. Todo elemento de (2) está em (4,6).

Passo 5

Vamos primeiro provar que (4,6) subseteq (2). Pegue qualquer elemento de (4,6), que é da forma 4a + 6b. Podemos fatorar 2:
4a + 6b = 2(2a + 3b)
Como 2a + 3b é um inteiro, isso mostra que 4a + 6b é múltiplo de 2, ou seja, está em (2).

Passo 6

Agora, vamos provar que (2) subseteq (4,6). Pegue qualquer elemento de (2), que é da forma 2k. Precisamos mostrar que 2k pode ser escrito como 4a + 6b para alguns inteiros a e b.

Passo 7

Observe que podemos escrever:
2 = 4 cdot 1 + 6 cdot (-1)
Multiplicando ambos os lados por k, temos:
2k = 4k + 6(-k)
Isso mostra que qualquer múltiplo de 2 pertence a (4,6).

Resposta

Assim, mostramos que (4,6) = (2) em Z.

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