Mostre que
em
, em que
é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e
é o ideal principal gerado pelo 2.
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o ideal gerado por 4 e 6, que é
, é igual ao ideal gerado por 2, que é
, no conjunto dos números inteiros
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funcionam os ideais em anéis, especialmente em
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o ideal
. Em
, o ideal gerado por 4 e 6 é o conjunto de todas as combinações lineares desses números, ou seja:
Isso significa que qualquer número que seja múltiplo de 2 pode ser escrito dessa forma.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o ideal
. Esse ideal é simplesmente:
Ou seja, é o conjunto de todos os múltiplos de 2.
Passo 4
Para mostrar que
, precisamos provar duas coisas:
- Todo elemento de
está em . - Todo elemento de
está em .
Passo 5
Vamos primeiro provar que
. Pegue qualquer elemento de
, que é da forma
. Podemos fatorar 2:
Como
é um inteiro, isso mostra que
é múltiplo de 2, ou seja, está em
.
Passo 6
Agora, vamos provar que
. Pegue qualquer elemento de
, que é da forma
. Precisamos mostrar que
pode ser escrito como
para alguns inteiros
e
.
Passo 7
Observe que podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso mostra que qualquer múltiplo de 2 pertence a
.
Resposta
Assim, mostramos que
em
.
Exercícios relacionados
Seja
um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em
, prove que a interseção de todos os
é um ideal.
Se
Liste os ideias principais de cada anel:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Seja
um domínio e
. Mostre que
se, e somente se,
pra algum inversível
.
Seja
um ideal em
tal que
. Prove que ou
ou
.