Mostre que em , em que é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e é o ideal principal gerado pelo 2.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o ideal gerado por 4 e 6, que é , é igual ao ideal gerado por 2, que é , no conjunto dos números inteiros . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funcionam os ideais em anéis, especialmente em . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o ideal . Em , o ideal gerado por 4 e 6 é o conjunto de todas as combinações lineares desses números, ou seja:
Isso significa que qualquer número que seja múltiplo de 2 pode ser escrito dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o ideal . Esse ideal é simplesmente:
Ou seja, é o conjunto de todos os múltiplos de 2.

Passo 4

Para mostrar que , precisamos provar duas coisas:
  1. Todo elemento de está em .
  2. Todo elemento de está em .

Passo 5

Vamos primeiro provar que . Pegue qualquer elemento de , que é da forma . Podemos fatorar 2:
Como é um inteiro, isso mostra que é múltiplo de 2, ou seja, está em .

Passo 6

Agora, vamos provar que . Pegue qualquer elemento de , que é da forma . Precisamos mostrar que pode ser escrito como para alguns inteiros e .

Passo 7

Observe que podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso mostra que qualquer múltiplo de 2 pertence a .

Resposta

Assim, mostramos que em .

Exercícios relacionados

Seja um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em , prove que a interseção de todos os é um ideal.
Liste os ideias principais de cada anel:
(a)
(b)
©
Seja um domínio e . Mostre que se, e somente se, pra algum inversível .
Seja um ideal em tal que . Prove que ou ou .