A=[lll 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 ], X=[l x1 x2 x3 ], B1=[l 1 2 3 ], B2=[r 0 -2 -1 ], B3=[r -2 2 0 ]
(a) Determine, se possível, a inversa de A.
(b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial A X=Bk para k=1,2,3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz de tamanho 3x3, três vetores , e , e pede para:
a) Determinar, se possível, a inversa de .
b) Usar essa inversa para resolver a equação matricial para .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e como usar essa inversa para resolver sistemas lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a matriz A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 é inversível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz é:

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 cdot 1 cdot 2 + 2 cdot 2 cdot 0 + 3 cdot 1 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot 0 - 2 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot 2 cdot 2
Calculando cada termo:
1 cdot 1 cdot 2 = 2 2 cdot 2 cdot 0 = 0 3 cdot 1 cdot 1 = 3 -3 cdot 1 cdot 0 = 0 -2 cdot 1 cdot 1 = -2 -1 cdot 2 cdot 2 = -4
Somando tudo:
2 + 0 + 3 + 0 - 2 - 4 = -1

Passo 4

Como o determinante de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é (diferente de zero), podemos dizer que é inversível. Agora, vamos calcular a inversa de , que chamamos de .
A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de .

Passo 5

Vamos encontrar a matriz adjunta Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Primeiro, encontramos a matriz de cofatores de 1 & 2 1 & 2 , e depois transponemos essa matriz.
Os cofatores são calculados assim:
1 & 2 0 & 2
Onde 1 & 1 0 & 1 é o menor complementar do elemento 2 & 3 1 & 2 .
Vamos calcular cada cofator:
  • 1 & 3 0 & 2
  • 1 & 2 0 & 1
  • 2 & 3 1 & 2
  • 1 & 3 1 & 2
  • 1 & 2 1 & 1
  • C = 0 & -2 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -1
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 6

Agora, a matriz adjunta adj(A) = C^T = 0 & -1 & 1 -2 & 2 & 1 1 & -1 & -1 é a transposta da matriz de cofatores A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-1 cdot 0 & -1 & 1 -2 & 2 & 1 1 & -1 & -1 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 :
Finalmente, a inversa de é:

Passo 7

Agora que temos X = A^-1 Bk , vamos resolver a equação para .
Sabemos que se é inversível, então a solução é:
Vamos calcular isso para cada .

Passo 8

Para B1 = 1 2 3 :
X = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 1 2 3 = 0 cdot 1 + 1 cdot 2 + (-1) cdot 3 2 cdot 1 + (-2) cdot 2 + (-1) cdot 3 -1 cdot 1 + 1 cdot 2 + 1 cdot 3 = 0 + 2 - 3 2 - 4 - 3 -1 + 2 + 3 = -1 -5 4
Multiplicando por :

Passo 9

Para B2 = 0 -2 -1 :
X = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 0 -2 -1 = 0 cdot 0 + 1 cdot (-2) + (-1) cdot (-1) 2 cdot 0 + (-2) cdot (-2) + (-1) cdot (-1) -1 cdot 0 + 1 cdot (-2) + 1 cdot (-1) = 0 - 2 + 1 0 + 4 + 1 0 - 2 - 1 = -1 5 -3
Multiplicando por :

Passo 10

Para B3 = -2 2 0 :
X = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 -2 2 0 = 0 cdot (-2) + 1 cdot 2 + (-1) cdot 0 2 cdot (-2) + (-2) cdot 2 + (-1) cdot 0 -1 cdot (-2) + 1 cdot 2 + 1 cdot 0 = 0 + 2 + 0 -4 - 4 + 0 2 + 2 + 0 = 2 -8 4
Multiplicando por :

Resposta

a) A inversa de A^-1 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 é:
X1 = -1 -5 4 , X2 = -1 5 -3 , X3 = 2 -8 4
b) As soluções para são:

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