(a) Determine, se possível, a inversa de .
(b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz de tamanho 3x3, três vetores , e , e pede para:
a) Determinar, se possível, a inversa de .
b) Usar essa inversa para resolver a equação matricial para .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e como usar essa inversa para resolver sistemas lineares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a matriz é inversível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz é:
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Como o determinante de é (diferente de zero), podemos dizer que é inversível. Agora, vamos calcular a inversa de , que chamamos de .
A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de .
Passo 5
Vamos encontrar a matriz adjunta . Primeiro, encontramos a matriz de cofatores de , e depois transponemos essa matriz.
Os cofatores são calculados assim:
Onde é o menor complementar do elemento .
Vamos calcular cada cofator:
Então, a matriz de cofatores é:
Passo 6
Agora, a matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores :