(a) Determine, se possível, a inversa de .
(b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz de tamanho 3x3, três vetores , e , e pede para:
a) Determinar, se possível, a inversa de .
b) Usar essa inversa para resolver a equação matricial para .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e como usar essa inversa para resolver sistemas lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a matriz é inversível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz é:

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Passo 4

Como o determinante de é (diferente de zero), podemos dizer que é inversível. Agora, vamos calcular a inversa de , que chamamos de .
A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de .

Passo 5

Vamos encontrar a matriz adjunta . Primeiro, encontramos a matriz de cofatores de , e depois transponemos essa matriz.
Os cofatores são calculados assim:
Onde é o menor complementar do elemento .
Vamos calcular cada cofator:
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 6

Agora, a matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores :
Finalmente, a inversa de é:

Passo 7

Agora que temos , vamos resolver a equação para .
Sabemos que se é inversível, então a solução é:
Vamos calcular isso para cada .

Passo 8

Para :
Multiplicando por :

Passo 9

Para :
Multiplicando por :

Passo 10

Para :
Multiplicando por :

Resposta

a) A inversa de é:
b) As soluções para são:

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
a) Encontre a matriz de na base ;
b) Encontre utilizando .
Sejam e . Determine a matriz tal que
a) Verifique que é uma transformação linear;
b) Forneça e .