(a) Determine, se possível, a inversa de A.
(b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial A X=Bk para k=1,2,3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz de tamanho 3x3, três vetores , e , e pede para:
a) Determinar, se possível, a inversa de .
b) Usar essa inversa para resolver a equação matricial para .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e como usar essa inversa para resolver sistemas lineares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a matriz A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 é inversível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz é:
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Como o determinante de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é (diferente de zero), podemos dizer que é inversível. Agora, vamos calcular a inversa de , que chamamos de .
A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de .
Passo 5
Vamos encontrar a matriz adjunta Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Primeiro, encontramos a matriz de cofatores de 1 & 2 1 & 2 , e depois transponemos essa matriz.
Os cofatores são calculados assim:
1 & 2 0 & 2
Onde 1 & 1 0 & 1 é o menor complementar do elemento 2 & 3 1 & 2 .