Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular , onde é a matriz identidade de ordem 5. A gente vai precisar entender o que é uma matriz identidade, como funcionam as potências de matrizes e aplicar essas ideias pra chegar na resposta. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz identidade. A matriz identidade de ordem é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Por exemplo, fica assim:

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa elevar uma matriz ao expoente 20. Isso quer dizer multiplicar a matriz por ela mesma 20 vezes:

Passo 4

Uma propriedade muito importante da matriz identidade é que, quando você multiplica qualquer matriz por ela, o resultado é a própria matriz. Ou seja, para qualquer matriz :
Isso acontece porque a matriz identidade funciona como o número 1 na multiplicação de números reais.

Passo 5

Aplicando essa propriedade na nossa situação, como , e isso vale para qualquer número de multiplicações. Então, multiplicar por si mesma 20 vezes não muda nada:

Resposta

Exercícios relacionados

a) Encontre a matriz de na base ;
b) Encontre utilizando .
Produto Produto Produto
A 3 4 2
B 1 6 4
C 1 4 7
Comprando-se quilos do produto quilos do produto e quilos do produto em qualquer dos supermercados pagarei . Determine e .
(a) Determine, se possível, a inversa de .
(b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial para .
Sejam e . Determine a matriz tal que