Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular , onde é a matriz identidade de ordem 5. A gente vai precisar entender o que é uma matriz identidade, como funcionam as potências de matrizes e aplicar essas ideias pra chegar na resposta. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz identidade. A matriz identidade de ordem é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Por exemplo, fica assim:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa elevar uma matriz ao expoente 20. Isso quer dizer multiplicar a matriz por ela mesma 20 vezes:
Passo 4
Uma propriedade muito importante da matriz identidade é que, quando você multiplica qualquer matriz por ela, o resultado é a própria matriz. Ou seja, para qualquer matriz :
Isso acontece porque a matriz identidade funciona como o número 1 na multiplicação de números reais.
Passo 5
Aplicando essa propriedade na nossa situação, como , e isso vale para qualquer número de multiplicações. Então, multiplicar por si mesma 20 vezes não muda nada: