Sejam as matrizes e In a matriz identidade de ordem n. Calcule, caso exista: (I5)^20
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular , onde é a matriz identidade de ordem 5. A gente vai precisar entender o que é uma matriz identidade, como funcionam as potências de matrizes e aplicar essas ideias pra chegar na resposta. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz identidade. A matriz identidade I5 = 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 de ordem é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Por exemplo, fica assim:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa elevar uma matriz ao expoente 20. Isso quer dizer multiplicar a matriz (I5)^20 = I5 times I5 times dots times I5 (20 vezes) por ela mesma 20 vezes:
Passo 4
Uma propriedade muito importante da matriz identidade é que, quando você multiplica qualquer matriz por ela, o resultado é a própria matriz. Ou seja, para qualquer matriz A times In = In times A = A :
Isso acontece porque a matriz identidade funciona como o número 1 na multiplicação de números reais.
Passo 5
Aplicando essa propriedade na nossa situação, como (I5)^20 = I5 , e isso vale para qualquer número de multiplicações. Então, multiplicar por si mesma 20 vezes não muda nada: