Resolva as equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que recebemos é:
Estamos lidando com uma equação diferencial, que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar manipular para chegar a uma forma que possamos integrar e encontrar a função em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos começar expandindo o lado direito:
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar para deixar a equação em uma forma mais conveniente:
Isso nos dá uma expressão para a derivada em termos de e .

Passo 4

Observamos que a equação ainda está um pouco complicada. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir . Assim:
Isso nos ajuda a reescrever a equação em termos de e .

Passo 5

Substituindo na equação original, temos:
Usando a expressão para :
Substituindo na equação:

Passo 6

Vamos reorganizar os termos para isolar :
Mas lembrando que , isso ainda está complicado. Vamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 7

Vamos tentar separar as variáveis. Primeiramente, vamos reescrever a equação original:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora, vamos reorganizar para separar as variáveis e :
Aqui, conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 9

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar em termos de :
Vamos resolver essas integrais separadamente.

Passo 10

Primeiro, a integral da esquerda:
Vamos usar uma integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Integrando:

Passo 11

Agora, a integral da direita:
Vamos expandir o numerador:
Então, a integral fica:

Passo 12

Igualando as integrais das duas partes:
Podemos reorganizar para deixar tudo em um lado:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Dada a função , com .
Determine:
(b)
Localiza todos os extremos relativos e pontos de sela da função
Resolva as equações diferenciais.
Resolva as equações diferenciais.
, com