Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que recebemos é:
Estamos lidando com uma equação diferencial, que relaciona uma função desconhecida
com suas derivadas. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar manipular para chegar a uma forma que possamos integrar e encontrar a função
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos começar expandindo o lado direito:
Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
para deixar a equação em uma forma mais conveniente:
Isso nos dá uma expressão para a derivada
em termos de
e
.
Passo 4
Observamos que a equação ainda está um pouco complicada. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir
. Assim:
Isso nos ajuda a reescrever a equação em termos de
e
.
Passo 5
Substituindo
na equação original, temos:
Usando a expressão para
:
Substituindo na equação:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos para isolar
:
Mas lembrando que
, isso ainda está complicado. Vamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 7
Vamos tentar separar as variáveis. Primeiramente, vamos reescrever a equação original:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, vamos reorganizar para separar as variáveis
e
:
Aqui, conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 9
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
:
Vamos resolver essas integrais separadamente.
Passo 10
Primeiro, a integral da esquerda:
Vamos usar uma integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Integrando:
Passo 11
Agora, a integral da direita:
Vamos expandir o numerador:
Então, a integral fica:
Passo 12
Igualando as integrais das duas partes:
Podemos reorganizar para deixar tudo em um lado:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Dada a função
, com
.
Determine:
(b)
Determine:
(b)
Localiza todos os extremos relativos e pontos de sela da função
Resolva as equações diferenciais.
Resolva as equações diferenciais.
, com