Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação: senh x=-log x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação senh x = -log x! Primeiro, vou resumir o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar graficamente as raízes reais dessa equação, ou seja, os valores de x que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as funções hiperbólica senh ( senh x) e o logaritmo natural ( log x). Vamos usar gráficos dessas funções para encontrar onde elas se encontram.

Passo 2

Vamos começar desenhando o gráfico da função senh x. A função hiperbólica senh é similar à função seno, mas para números reais. Ela é definida por:
senh x = e^x - e^-x2
Essa função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem, e cresce exponencialmente para valores positivos e negativos de x.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função do lado direito da equação: -log x. O logaritmo natural log x só está definido para x > 0. Portanto, temos que considerar apenas valores positivos de x. A função -log x é decrescente nesse intervalo, começando de +infty quando x se aproxima de 0 e tendendo a 0 quando x cresce.

Passo 4

Para encontrar graficamente as raízes da equação senh x = -log x, precisamos traçar os gráficos dessas duas funções no mesmo sistema de coordenadas e ver onde eles se interceptam.
  1. Gráfico de senh x: Sabe aquela curva em forma de “S”? É mais ou menos assim, mas cresce mais rápido para valores positivos e negativos de x.
  2. Gráfico de -log x: É uma curva que começa muito alto perto de x=0 e desce suavemente conforme x aumenta.

Passo 5

Vamos analisar os pontos de interseção:
  • Para x > 0, senh x é sempre positiva e -log x é positiva também (já que log x é negativa). Então, é possível que se encontrem.
  • Para x muito próximo de 0, -log x tende a +infty, enquanto senh x tende a 0. Isso indica que as curvas vão se aproximar, mas ainda não se encontram.
  • À medida que x aumenta, senh x cresce exponencialmente, enquanto -log x diminui lentamente. Portanto, existe um ponto onde as duas funções se cruzam.

Passo 6

Vamos estimar onde ocorre essa interseção:
  • Testando x=1:
    • senh(1) approx 1.175
    • -log(1) = 0
    • Então, senh(1) > -log(1)
  • Testando x=0.5:
    • senh(0.5) approx 0.521
    • -log(0.5) approx 0.693
    • Agora, senh(0.5) < -log(0.5)
Isso nos mostra que a interseção ocorre entre x=0.5 e x=1.

Passo 7

Para melhorar a precisão, vamos testar um valor intermediário, como x=0.6:
  • senh(0.6) approx 0.673
  • -log(0.6) approx 0.511
Aqui, senh(0.6) > -log(0.6).
Agora, testamos x=0.55:
  • senh(0.55) approx 0.586
  • -log(0.55) approx 0.597
Agora temos senh(0.55) < -log(0.55).
Então, a interseção está entre x=0.55 e x=0.6.

Passo 8

Fazendo mais um refinamento, testamos x=0.57:
  • senh(0.57) approx 0.635
  • -log(0.57) approx 0.562
Aqui, senh(0.57) > -log(0.57).
E x=0.56:
  • senh(0.56) approx 0.612
  • -log(0.56) approx 0.579
Ainda, senh(0.56) > -log(0.56).
Agora, x=0.555:
  • senh(0.555) approx 0.601
  • -log(0.555) approx 0.589
Quase lá! Ainda senh(0.555) > -log(0.555).

Passo 9

Vamos tentar x=0.553:
  • senh(0.553) approx 0.596
  • -log(0.553) approx 0.590
Ainda, senh(0.553) > -log(0.553).
E x=0.552:
  • senh(0.552) approx 0.594
  • -log(0.552) approx 0.594
Aproximadamente iguais! Portanto, a raiz real da equação senh x = -log x está em x approx 0.552.

Resposta

A raiz real da equação senh x = -log x está aproximadamente em x approx 0.552.

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