Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
! Primeiro, vou resumir o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar graficamente as raízes reais dessa equação, ou seja, os valores de
que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as funções hiperbólica senh (
) e o logaritmo natural (
). Vamos usar gráficos dessas funções para encontrar onde elas se encontram.
Passo 2
Vamos começar desenhando o gráfico da função
. A função hiperbólica senh é similar à função seno, mas para números reais. Ela é definida por:
Essa função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem, e cresce exponencialmente para valores positivos e negativos de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função do lado direito da equação:
. O logaritmo natural
só está definido para
. Portanto, temos que considerar apenas valores positivos de
. A função
é decrescente nesse intervalo, começando de
quando
se aproxima de
e tendendo a
quando
cresce.
Passo 4
Para encontrar graficamente as raízes da equação
, precisamos traçar os gráficos dessas duas funções no mesmo sistema de coordenadas e ver onde eles se interceptam.
-
Gráfico de
: Sabe aquela curva em forma de “S”? É mais ou menos assim, mas cresce mais rápido para valores positivos e negativos de . -
Gráfico de
: É uma curva que começa muito alto perto de e desce suavemente conforme aumenta.
Passo 5
Vamos analisar os pontos de interseção:
-
Para
, é sempre positiva e é positiva também (já que é negativa). Então, é possível que se encontrem. -
Para
muito próximo de , tende a , enquanto tende a . Isso indica que as curvas vão se aproximar, mas ainda não se encontram. -
À medida que
aumenta, cresce exponencialmente, enquanto diminui lentamente. Portanto, existe um ponto onde as duas funções se cruzam.
Passo 6
Vamos estimar onde ocorre essa interseção:
-
Testando
: -
-
- Então,
-
-
Testando
: -
-
- Agora,
-
Isso nos mostra que a interseção ocorre entre
e
.
Passo 7
Para melhorar a precisão, vamos testar um valor intermediário, como
:
Aqui,
.
Agora, testamos
:
Agora temos
.
Então, a interseção está entre
e
.
Passo 8
Fazendo mais um refinamento, testamos
:
Aqui,
.
E
:
Ainda,
.
Agora,
:
Quase lá! Ainda
.
Passo 9
Vamos tentar
:
Ainda,
.
E
:
Aproximadamente iguais! Portanto, a raiz real da equação
está em
.
Resposta
A raiz real da equação
está aproximadamente em
.
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