Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x=e^x sen x

Passo 1

Beleza, temos que encontrar as raízes da equação com um erro menor que . Isso significa que queremos descobrir os valores de que fazem essa igualdade verdadeira. Para resolver isso, vamos usar alguns métodos de resolução de equações, como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção. Vamos precisar entender um pouco sobre funções e como encontrar onde elas cruzam o eixo (as raízes).

Passo 2

Primeiro, vamos reformular a equação para facilitar a aplicação dos métodos. Queremos encontrar e^x sen x - x = 0 tal que:
Vamos chamar essa expressão de função f(x) = e^x sen x - x :
Nosso objetivo é encontrar os valores de onde .

Passo 3

Vamos começar pelo Método de Newton-Raphson. Esse método usa a seguinte fórmula para aproximar as raízes:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeiro, precisamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(e^x sen x) - ddx(x) = e^x sen x + e^x cos x - 1 :
Então,

Passo 4

Escolhemos um valor inicial f(0) = e^0 sen 0 - 0 = 0 - 0 = 0 próximo à onde achamos que a raiz está. Vamos fazer uma análise rápida. Para :
Então, é uma raiz da equação.

Passo 5

Vamos verificar se há outras raízes. Testando f(1) = e^1 sen 1 - 1 approx 2.718 times 0.8415 - 1 approx 2.290 - 1 = 1.290 > 0 :
E para f(-1) = e^-1 sen(-1) - (-1) approx 0.368 times (-0.8415) + 1 approx -0.31 + 1 = 0.69 > 0 :
Parece que, além de , não há outras raízes reais na vizinhança desses valores. Vamos focar em .

Passo 6

Aplicando o Método de Newton-Raphson com f(0) = 0 :
f'(0) = e^0 (sen 0 + cos 0) - 1 = 1 times (0 + 1) - 1 = 0
Veja que a derivada em também é zero, o que indica que o Método de Newton-Raphson não será eficiente aqui. Então, podemos tentar outro método, como o Método da Bisseção.

Passo 7

Para o Método da Bisseção, precisamos de dois pontos f(-0.5) = e^-0.5 sen(-0.5) - (-0.5) approx 0.6065 times (-0.4794) + 0.5 approx -0.29 + 0.5 = 0.21 > 0 e f(0.5) = e^0.5 sen(0.5) - 0.5 approx 1.6487 times 0.4794 - 0.5 approx 0.7906 - 0.5 = 0.2906 > 0 onde f(-1) approx 0.69 > 0 e f(0) = 0 tenham sinais opostos. Sabemos que . Vamos verificar em um intervalo próximo, por exemplo, entre e :
Ambos são positivos, então precisamos de um intervalo diferente. Vamos tentar entre e :
Ainda não encontramos sinais opostos. Isso sugere que é a única raiz real na vizinhança considerada.

Passo 8

Conclusão: A única raiz real da equação com erro menor que é .

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é .

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