Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, temos que encontrar as raízes da equação com um erro menor que . Isso significa que queremos descobrir os valores de que fazem essa igualdade verdadeira. Para resolver isso, vamos usar alguns métodos de resolução de equações, como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção. Vamos precisar entender um pouco sobre funções e como encontrar onde elas cruzam o eixo (as raízes).

Passo 2

Primeiro, vamos reformular a equação para facilitar a aplicação dos métodos. Queremos encontrar tal que:
Vamos chamar essa expressão de função :
Nosso objetivo é encontrar os valores de onde .

Passo 3

Vamos começar pelo Método de Newton-Raphson. Esse método usa a seguinte fórmula para aproximar as raízes:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de :
Então,

Passo 4

Escolhemos um valor inicial próximo à onde achamos que a raiz está. Vamos fazer uma análise rápida. Para :
Então, é uma raiz da equação.

Passo 5

Vamos verificar se há outras raízes. Testando :
E para :
Parece que, além de , não há outras raízes reais na vizinhança desses valores. Vamos focar em .

Passo 6

Aplicando o Método de Newton-Raphson com :
Veja que a derivada em também é zero, o que indica que o Método de Newton-Raphson não será eficiente aqui. Então, podemos tentar outro método, como o Método da Bisseção.

Passo 7

Para o Método da Bisseção, precisamos de dois pontos e onde e tenham sinais opostos. Sabemos que . Vamos verificar em um intervalo próximo, por exemplo, entre e :
Ambos são positivos, então precisamos de um intervalo diferente. Vamos tentar entre e :
Ainda não encontramos sinais opostos. Isso sugere que é a única raiz real na vizinhança considerada.

Passo 8

Conclusão: A única raiz real da equação com erro menor que é .

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é .

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