Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, temos que encontrar as raízes da equação com um erro menor que
. Isso significa que queremos descobrir os valores de
que fazem essa igualdade verdadeira. Para resolver isso, vamos usar alguns métodos de resolução de equações, como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção. Vamos precisar entender um pouco sobre funções e como encontrar onde elas cruzam o eixo
(as raízes).
Passo 2
Primeiro, vamos reformular a equação para facilitar a aplicação dos métodos. Queremos encontrar
tal que:
Vamos chamar essa expressão de função
:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
onde
.
Passo 3
Vamos começar pelo Método de Newton-Raphson. Esse método usa a seguinte fórmula para aproximar as raízes:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Então,
Passo 4
Escolhemos um valor inicial
próximo à onde achamos que a raiz está. Vamos fazer uma análise rápida. Para
:
Então,
é uma raiz da equação.
Passo 5
Vamos verificar se há outras raízes. Testando
:
E para
:
Parece que, além de
, não há outras raízes reais na vizinhança desses valores. Vamos focar em
.
Passo 6
Aplicando o Método de Newton-Raphson com
:
Veja que a derivada em
também é zero, o que indica que o Método de Newton-Raphson não será eficiente aqui. Então, podemos tentar outro método, como o Método da Bisseção.
Passo 7
Para o Método da Bisseção, precisamos de dois pontos
e
onde
e
tenham sinais opostos. Sabemos que
. Vamos verificar em um intervalo próximo, por exemplo, entre
e
:
Ambos são positivos, então precisamos de um intervalo diferente. Vamos tentar entre
e
:
Ainda não encontramos sinais opostos. Isso sugere que
é a única raiz real na vizinhança considerada.
Passo 8
Conclusão: A única raiz real da equação com erro menor que
é
.
Resposta
A raiz da equação com erro menor que
é
.
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A partir da expansão em série
calcule o erro absoluto ao se realizar o truncamento dos 5 primeiros termos com arredondamento truncado na terceira casa decimal