Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: sen(e^x-2)=0.2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar as raízes da equação . Isso quer dizer que queremos descobrir quais valores de sen(e^x-2) = 0,2 fazem com que essa equação seja verdadeira. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos que nos ajudam a encontrar aproximações de com um erro menor que . Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções trigonométricas e exponenciais para manobrar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Queremos isolar sen(e^x - 2) = 0,2 , então vamos aplicar a função inversa do seno, que é o arco seno ():
Sabemos que é aproximadamente 0,20136 radianos.

Passo 3

Agora, vamos isolar e^x = 2 + arcsen(0,2) approx 2 + 0,20136 = 2,20136 :
Para encontrar x = ln(2,20136) , aplicamos o logaritmo natural ( ) nos dois lados da equação:

Passo 4

Calculando o logaritmo natural:
x approx ln(2,20136) approx 0,7885
Para garantir que o erro seja menor que , podemos usar um método numérico como o de Newton-Raphson para refinar nossa estimativa.

Passo 5

Aplicando o método de Newton-Raphson, começamos com a estimativa inicial xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . A fórmula do método é:
Onde e .

Passo 6

Calculando f(x0) = sen(e^0,7885 - 2) - 0,2 approx sen(2,20136 - 2) - 0,2 = sen(0,20136) - 0,2 approx 0,2 - 0,2 = 0 e :
Visto que já é praticamente zero, nossa estimativa inicial já atende ao critério de erro.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que sen(e^x-2) = 0,2 é aproximadamente:
1 times 10^-6

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