Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^2=2 cos x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar as raízes da equação , ou seja, os valores de que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos usar métodos numéricos que nos permitam aproximar essas raízes com um erro menor que . Vamos precisar de conhecimentos sobre funções, gráficos e métodos de resolução de equações não lineares, como o Método de Newton.

Passo 2

Vamos começar analisando a equação . Podemos reescrevê-la como . Assim, queremos encontrar os valores de que tornam essa expressão igual a zero.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos utilizar o Método de Newton, que é um método iterativo para encontrar aproximações das raízes de uma função. A fórmula do Método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(x^2) - ddx(2 cos x) = 2x + 2 sin x :

Passo 5

Agora, escolhemos um chute inicial x0 = 1 próximo à raiz que queremos encontrar. Observando a função, podemos estimar que uma raiz está próxima de .

Passo 6

Aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar f(x0) = (1)^2 - 2 cos(1) approx 1 - 2 times 0,5403 = 1 - 1,0806 = -0,0806 :
f'(x0) = 2 times 1 + 2 sin(1) approx 2 + 2 times 0,8415 = 2 + 1,683 = 3,683
x1 = 1 - -0,08063,683 approx 1 + 0,0219 = 1,0219

Passo 7

Repetimos o processo para encontrar f(x1) = (1,0219)^2 - 2 cos(1,0219) approx 1,0443 - 2 times 0,5195 = 1,0443 - 1,039 = 0,0053 :
f'(x1) = 2 times 1,0219 + 2 sin(1,0219) approx 2,0438 + 2 times 0,8505 = 2,0438 + 1,701 = 3,7448
x2 = 1,0219 - 0,00533,7448 approx 1,0219 - 0,0014 = 1,0205

Passo 8

Continuamos iterando até que a diferença entre x approx 1,0205 e seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a uma aproximação satisfatória:

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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