Localize o centro de gravidade barz do tronco do paraboloide. O material é homogêneo.

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para encontrar o centro de gravidade na direção de um tronco de paraboloide, assumindo que o material é homogêneo. Isso envolve conhecimentos de geometria do sólido e cálculo para determinar onde está o “peso” equilibrado do objeto. Para resolver, vamos precisar usar integrais para calcular o volume e a posição do centro de gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um tronco de paraboloide. Imagine um paraboloide completo, que tem a forma de uma tigela aberta, mas cortamos a parte de cima e de baixo, ficando só uma “faixa” do paraboloide. Essa é a nossa região de interesse.

Passo 3

Como o material é homogêneo, a densidade é constante em todo o objeto. Isso significa que o centro de gravidade dependerá apenas da forma do sólido. Para encontrar barz = integralV z , dVintegralV dV , vamos usar a fórmula:
Aqui, é a integral do produto de pelo elemento de volume, e é o volume total do tronco de paraboloide.

Passo 4

Vamos parametrizar o paraboloide. Assumindo que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo z = r^24f , podemos usar coordenadas cilíndricas para simplificar os cálculos. A equação do paraboloide pode ser escrita como:
onde é o raio em coordenadas cilíndricas e é a distância focal do paraboloide.

Passo 5

Definimos os limites de integração. Suponhamos que o tronco de paraboloide vai de r = raiz4f z a . A relação entre e nos dá:
Portanto, para cada valor de , o raio varia de a .

Passo 6

Calculamos o volume total V = integralz1^z2 integral0^2pi integral0^raiz4f z r , dr , dtheta , dz do tronco de paraboloide usando coordenadas cilíndricas:
V = 2pi integralz1^z2 ( (4f z)2 ) dz = 4pi f integralz1^z2 z , dz = 4pi f [ z^22 ]z1^z2 = 2pi f (z2^2 - z1^2)
Integrando em relação a e , obtemos:

Passo 7

Agora, calculamos a integral integralV z , dV = integralz1^z2 integral0^2pi integral0^raiz4f z z cdot r , dr , dtheta , dz :
integralV z , dV = 2pi integralz1^z2 z cdot (4f z)2 , dz = 4pi f integralz1^z2 z^2 , dz = 4pi f [ z^33 ]z1^z2 = 4pi f3 (z2^3 - z1^3)
Integrando primeiro em e :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula do centro de gravidade:
barz = integralV z , dVV = 4pi f3 (z2^3 - z1^3)2pi f (z2^2 - z1^2) = 23 cdot z2^3 - z1^3z2^2 - z1^2
Simplificando a expressão:
barz = 23 cdot z2^3 - z1^3z2^2 - z1^2

Resposta

O centro de gravidade na direção barz = 23 cdot z2^3 - z1^3z2^2 - z1^2 do tronco de paraboloide é dado por:

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