Localize o centro de gravidade
do tronco do paraboloide. O material é homogêneo.
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para encontrar o centro de gravidade na direção
de um tronco de paraboloide, assumindo que o material é homogêneo. Isso envolve conhecimentos de geometria do sólido e cálculo para determinar onde está o “peso” equilibrado do objeto. Para resolver, vamos precisar usar integrais para calcular o volume e a posição do centro de gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um tronco de paraboloide. Imagine um paraboloide completo, que tem a forma de uma tigela aberta, mas cortamos a parte de cima e de baixo, ficando só uma “faixa” do paraboloide. Essa é a nossa região de interesse.
Passo 3
Como o material é homogêneo, a densidade é constante em todo o objeto. Isso significa que o centro de gravidade dependerá apenas da forma do sólido. Para encontrar
, vamos usar a fórmula:
Aqui,
é a integral do produto de
pelo elemento de volume, e
é o volume total do tronco de paraboloide.
Passo 4
Vamos parametrizar o paraboloide. Assumindo que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo
, podemos usar coordenadas cilíndricas para simplificar os cálculos. A equação do paraboloide pode ser escrita como:
onde
é o raio em coordenadas cilíndricas e
é a distância focal do paraboloide.
Passo 5
Definimos os limites de integração. Suponhamos que o tronco de paraboloide vai de
a
. A relação entre
e
nos dá:
Portanto, para cada valor de
, o raio varia de
a
.
Passo 6
Calculamos o volume total
do tronco de paraboloide usando coordenadas cilíndricas:
Integrando em relação a
e
, obtemos:
Passo 7
Agora, calculamos a integral
:
Integrando primeiro em
e
:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a fórmula do centro de gravidade:
Simplificando a expressão:
Resposta
O centro de gravidade na direção
do tronco de paraboloide é dado por:
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