Um relógio de pêndulo com um pêndulo feito de latão é projetado para medir com precisão o tempo a 20^circ C. Se o relógio operar a 0^circ C, qual a intensidade de seu erro, em segundos por hora? O relógio adianta ou atrasa? Usem:
alphaL & =0,7 times 10^-6 ^0 C^-1 T & =2 pi raiz1g

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um relógio de pêndulo feito de latão, que foi ajustado para funcionar certinho a 20°C. A gente precisa descobrir qual é o erro que o relógio vai ter (em segundos por hora) se ele funcionar a 0°C. Também vamos ver se ele vai adiantar ou atrasar. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura afeta o período do pêndulo, usar a fórmula do período do pêndulo e aplicar a expansão térmica do latão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período de um pêndulo simples é dado por:
T = 2pi raizLg
onde:
  • De é o período,
  • é o comprimento do pêndulo,
  • é a aceleração da gravidade.
Como o pêndulo é feito de latão, o comprimento vai mudar com a temperatura devido à expansão térmica. A variação do comprimento pode ser calculada usando:
onde:
  • é o coeficiente de dilatação linear,
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos calcular a variação do comprimento De. Sabemos que:
  • ,
  • .
Então:
Isso significa que o pêndulo vai encurtar.

Passo 4

Com o pêndulo encurtando, o novo comprimento L' = L + De será:

Passo 5

Agora, vamos calcular o novo período T' = 2pi raizL'g = 2pi raizL (1 - 1,4 times 10^-4)g = T raiz1 - 1,4 times 10^-4 com o comprimento reduzido:
T' approx T (1 - 1,4 times 10^-42) = T (1 - 7 times 10^-5)
Para simplificar, podemos usar a aproximação para quando é pequeno:

Passo 6

A variação relativa no período é então:
De
Isso significa que o período diminuiu em vezes o período original.

Passo 7

Para encontrar o erro em segundos por hora, primeiro calculamos quantos períodos cabem em uma hora:
n = 3600 , segundosT
O erro total será:
De

Resposta

O relógio atrasará aproximadamente 0,25 segundos por hora quando operado a 0°C.

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