Um relógio de pêndulo com um pêndulo feito de latão é projetado para medir com precisão o tempo a
. Se o relógio operar a
, qual a intensidade de seu erro, em segundos por hora? O relógio adianta ou atrasa? Usem:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um relógio de pêndulo feito de latão, que foi ajustado para funcionar certinho a 20°C. A gente precisa descobrir qual é o erro que o relógio vai ter (em segundos por hora) se ele funcionar a 0°C. Também vamos ver se ele vai adiantar ou atrasar. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura afeta o período do pêndulo, usar a fórmula do período do pêndulo e aplicar a expansão térmica do latão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período de um pêndulo simples é dado por:
onde:
-
é o período, -
é o comprimento do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade.
Como o pêndulo é feito de latão, o comprimento
vai mudar com a temperatura devido à expansão térmica. A variação do comprimento pode ser calculada usando:
onde:
-
é o coeficiente de dilatação linear, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos calcular a variação do comprimento
. Sabemos que:
-
, -
.
Então:
Isso significa que o pêndulo vai encurtar.
Passo 4
Com o pêndulo encurtando, o novo comprimento
será:
Passo 5
Agora, vamos calcular o novo período
com o comprimento reduzido:
Para simplificar, podemos usar a aproximação para
quando
é pequeno:
Passo 6
A variação relativa no período é então:
Isso significa que o período diminuiu em
vezes o período original.
Passo 7
Para encontrar o erro em segundos por hora, primeiro calculamos quantos períodos cabem em uma hora:
O erro total será:
Resposta
O relógio atrasará aproximadamente 0,25 segundos por hora quando operado a 0°C.
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