O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre no comprimento de onda de 27,0 mu m (infravermelho). A temperatura da cavidade é então aumentada até sua a potência total irradiada se torne duas vezes maior que a original. Tratando esta cavidade como um corpo negro, responda. (a) Qual é a nova temperatura da cavidade? (b) Qual é a nova posição do máximo da distribuição espectral?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cavidade que emite radiação como um corpo negro. Inicialmente, o comprimento de onda no qual a potência irradiada é máxima é de 27,0 mu m, na região do infravermelho. A temperatura dessa cavidade é aumentada de forma que a potência total irradiada dobra. Precisamos descobrir:
(a) Qual é a nova temperatura da cavidade?
(b) Qual será o novo comprimento de onda onde a potência irradiada é máxima?
Para resolver isso, vamos usar duas leis importantes da física que descrevem a radiação de um corpo negro: a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei de Wien.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência total irradiada por um corpo negro com sua temperatura. A fórmula é:
P = sigma T^4
Onde:
  • P é a potência irradiada,
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( sigma approx 5,67 times 10^-8 , W/m^2K^4),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Sabemos que a potência inicial é P e a nova potência é 2P. Então:
2P = sigma Tnova^4
Como originalmente P = sigma Toriginal^4, podemos substituir:
2 sigma Toriginal^4 = sigma Tnova^4
Simplificando sigma dos dois lados:
2 Toriginal^4 = Tnova^4
Agora, para encontrar Tnova, tiramos a raiz quarta dos dois lados:
Tnova = 2^1/4 Toriginal approx 1,1892 , Toriginal

Passo 3

Agora, vamos descobrir a temperatura original Toriginal usando a Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda de máxima emissão com a temperatura:
lambdamax T = b
Onde b é a constante de deslocamento de Wien ( b approx 2,897771955 times 10^-3 , m cdot K).
Dado que lambdamax = 27,0 mu m = 27,0 times 10^-6 , m, temos:
Toriginal = blambdamax = 2,897771955 times 10^-327,0 times 10^-6 approx 107,3 , K

Passo 4

Com a relação entre Tnova e Toriginal já estabelecida, e sabendo que Toriginal approx 107,3 , K, podemos calcular Tnova:
Tnova = 2^1/4 times 107,3 approx 1,1892 times 107,3 approx 127,6 , K

Passo 5

Finalmente, para encontrar o novo comprimento de onda de máxima emissão lambdanova, usamos novamente a Lei de Wien com a nova temperatura:
lambdanova = bTnova = 2,897771955 times 10^-3127,6 approx 22,7 times 10^-6 , m = 22,7 ,mu m

Resposta

(a) A nova temperatura da cavidade é aproximadamente 127,6 , K.
(b) A nova posição do máximo da distribuição espectral é aproximadamente 22,7 ,mu m.

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