O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre no comprimento de onda de
(infravermelho). A temperatura da cavidade é então aumentada até sua a potência total irradiada se torne duas vezes maior que a original. Tratando esta cavidade como um corpo negro, responda. (a) Qual é a nova temperatura da cavidade? (b) Qual é a nova posição do máximo da distribuição espectral?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cavidade que emite radiação como um corpo negro. Inicialmente, o comprimento de onda no qual a potência irradiada é máxima é de
, na região do infravermelho. A temperatura dessa cavidade é aumentada de forma que a potência total irradiada dobra. Precisamos descobrir:
(a) Qual é a nova temperatura da cavidade?
(b) Qual será o novo comprimento de onda onde a potência irradiada é máxima?
Para resolver isso, vamos usar duas leis importantes da física que descrevem a radiação de um corpo negro: a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei de Wien.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência total irradiada por um corpo negro com sua temperatura. A fórmula é:
Onde:
-
é a potência irradiada, -
é a constante de Stefan-Boltzmann ( ), -
é a temperatura absoluta em Kelvin.
Sabemos que a potência inicial é
e a nova potência é
. Então:
Como originalmente
, podemos substituir:
Simplificando
dos dois lados:
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz quarta dos dois lados:
Passo 3
Agora, vamos descobrir a temperatura original
usando a Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda de máxima emissão com a temperatura:
Onde
é a constante de deslocamento de Wien (
).
Dado que
, temos:
Passo 4
Com a relação entre
e
já estabelecida, e sabendo que
, podemos calcular
:
Passo 5
Finalmente, para encontrar o novo comprimento de onda de máxima emissão
, usamos novamente a Lei de Wien com a nova temperatura:
Resposta
(a) A nova temperatura da cavidade é aproximadamente
.
(b) A nova posição do máximo da distribuição espectral é aproximadamente
.