Seja
. Determine
.
Passo 1
Então, nosso desafio aqui é encontrar a derivada mista parcial
da função
. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais no cálculo multivariável. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e polinomiais para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função dada é:
Derivando cada termo em relação a
:
-
Para
: -
é tratado como uma constante em relação a . - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada desse termo é
.
-
-
Para
: -
é tratado como uma constante em relação a . - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada desse termo é
.
-
Somando as derivadas dos dois termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Derivando cada termo em relação a
:
-
Para
: - Aplicamos a regra do produto, onde
e . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - Então, usando a regra do produto:
.
- Aplicamos a regra do produto, onde
-
Para
: -
é tratado como uma constante em relação a . - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada desse termo é
.
-
Somando as derivadas dos dois termos:
Resposta
A derivada parcial mista é:
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.
Questão 1. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto possuindo uma concentração de 5 gramas de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto. Escreva um PVI que modela o problema de encontrar a quantidade de sal no tanque,
. Encontre a solução geral da equação diferencial e e a solução do PVI. De qual valor se aproxima a concentração, quando o volume no tanque se aproxima do máximo, se esse máximo é o dobro do volume inicial?
Seja
.
(a) Determine a inclinação da superfície na direção
no ponto
.
(a) Determine a inclinação da superfície
Seja
.
(b) Determine a inclinação da superfície na direção
no ponto
.
(b) Determine a inclinação da superfície