Seja f(x, y) = y^2 * e^(x+y) + 3 * x^2 * y. Determine fxy.

Passo 1

Então, nosso desafio aqui é encontrar a derivada mista parcial da função . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais no cálculo multivariável. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e polinomiais para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função dada é:
Derivando cada termo em relação a :
  1. Para :
    • é tratado como uma constante em relação a .
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada desse termo é .
  2. Para :
    • é tratado como uma constante em relação a .
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada desse termo é .
Somando as derivadas dos dois termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a para encontrar .
Temos:
Derivando cada termo em relação a :
  1. Para :
    • Aplicamos a regra do produto, onde e .
    • A derivada de em relação a é .
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, usando a regra do produto: .
  2. Para :
    • é tratado como uma constante em relação a .
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada desse termo é .
Somando as derivadas dos dois termos:

Resposta

A derivada parcial mista é:

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Seja f(x, y) = x^2 * y + 5 * y^3.
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