Seja f(x, y) = x^2 * y + 5 * y^3.
(a) Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção x no ponto (1, -2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para determinar a inclinação da superfície na direção do eixo no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando movimentamos em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, temos que entender o que significa "inclinação na direção ". Isso se refere à derivada parcial da função em relação a . A derivada parcial nos mostra a taxa de variação de quando apenas varia e permanece constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a :
A derivada de com respeito a é , e a derivada de em relação a é zero porque não contém .

Passo 4

Agora, substituímos os valores do ponto dado na derivada parcial que encontramos:
Portanto, a inclinação na direção no ponto é .

Resposta

A inclinação da superfície na direção no ponto é .

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