Seja .
(a) Determine a inclinação da superfície na direção no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para determinar a inclinação da superfície na direção do eixo no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando movimentamos em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, temos que entender o que significa "inclinação na direção ". Isso se refere à derivada parcial da função em relação a . A derivada parcial nos mostra a taxa de variação de quando apenas varia e permanece constante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a :
A derivada de com respeito a é , e a derivada de em relação a é zero porque não contém .
Passo 4
Agora, substituímos os valores do ponto dado na derivada parcial que encontramos:
Portanto, a inclinação na direção no ponto é .
Resposta
A inclinação da superfície na direção no ponto é .