Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos de máximos relativos, mínimos relativos e, se existirem, pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca de pontos críticos e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 4
Da segunda equação, podemos isolar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então,
. Substituindo de volta em
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora que encontramos o ponto crítico
, vamos determinar se ele é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante
.
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Interpretando o discriminante
:
- Se
e , temos um mínimo relativo. - Se
e , temos um máximo relativo. - Se
, temos um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Portanto, o ponto crítico
é um mínimo relativo.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um mínimo relativo.
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(d)
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(5)
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