Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos de máximos relativos, mínimos relativos e, se existirem, pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca de pontos críticos e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 4

Da segunda equação, podemos isolar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, . Substituindo de volta em :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora que encontramos o ponto crítico , vamos determinar se ele é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante .
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 6

Interpretando o discriminante :
  • Se e , temos um mínimo relativo.
  • Se e , temos um máximo relativo.
  • Se , temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Portanto, o ponto crítico é um mínimo relativo.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um mínimo relativo.

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Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
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Calcule os limites abaixo, caso existam.
(d)
Calcule os limites abaixo, caso existam.
(5)