Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma função
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que a origem
é um ponto crítico, ou seja, as derivadas primeiras são zero nesse ponto. O que queremos é usar o teste da derivada segunda para descobrir se esse ponto crítico é um ponto de mínimo, máximo ou sela. Para isso, vamos precisar calcular o discriminante usando as derivadas segundas fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o discriminante
no teste da derivada segunda. A fórmula é:
Aqui,
é a segunda derivada parcial de
em relação a
,
é a segunda derivada parcial em relação a
, e
é a derivada mista.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores fornecidos no enunciado:
Substituindo na fórmula do discriminante:
Passo 4
Com o valor de
, vamos interpretar o resultado. No teste da derivada segunda:
- Se
e , temos um ponto de mínimo local. - Se
e , temos um ponto de máximo local. - Se
, temos um ponto de sela.
Como
é menor que zero, concluímos que a origem é um ponto de sela.
Resposta
A origem é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
f)
f)
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
c)
c)
Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes:
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
d) .
d)