Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
b) f_xx(0,0)=-2, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que a origem é um ponto crítico, ou seja, as derivadas primeiras são zero nesse ponto. O que queremos é usar o teste da derivada segunda para descobrir se esse ponto crítico é um ponto de mínimo, máximo ou sela. Para isso, vamos precisar calcular o discriminante usando as derivadas segundas fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o discriminante no teste da derivada segunda. A fórmula é:
Aqui, é a segunda derivada parcial de em relação a , é a segunda derivada parcial em relação a , e é a derivada mista.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no enunciado:
Substituindo na fórmula do discriminante:

Passo 4

Com o valor de , vamos interpretar o resultado. No teste da derivada segunda:
  • Se e , temos um ponto de mínimo local.
  • Se e , temos um ponto de máximo local.
  • Se , temos um ponto de sela.
Como é menor que zero, concluímos que a origem é um ponto de sela.

Resposta

A origem é um ponto de sela.

Exercícios relacionados

Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
f) f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2 + 2*x))
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
c) f_xx(0,0)=3, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2
Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes: sumn=1^infty (x+1)^nn cdot 2^n
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
d) f_xx(0,0)=-3, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=-2.