Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências pra analisar: . O lance aqui é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, onde ela soma a um valor finito. A matéria envolvida é Séries de Potências e vamos precisar usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para encontrar o domínio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série de potências. É uma série onde temos termos com potências de , nesse caso, . Queremos saber para quais valores de essa soma não explode, mas sim se mantém finita.
Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. O teste diz que se o limite da razão entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, não dá pra concluir nada.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Agora, calculamos :
A razão fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Sabemos que , então:
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1 em módulo:
Vamos resolver essa desigualdade:
| x+1 | < 2
Isso significa que:
-2 < x + 1 < 2
Subtraindo 1 de todos os lados:
-3 < x < 1
Passo 6
Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo sumn=1^infty (-3+1)^nn cdot 2^n = sumn=1^infty (-2)^nn cdot 2^n = sumn=1^infty (-1)^nn e sumn=1^infty (1+1)^nn cdot 2^n = sumn=1^infty 2^nn cdot 2^n = sumn=1^infty 1n para ver se a série converge nesses pontos.