Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes: sumn=1^infty (x+1)^nn cdot 2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências pra analisar: . O lance aqui é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, onde ela soma a um valor finito. A matéria envolvida é Séries de Potências e vamos precisar usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para encontrar o domínio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de potências. É uma série onde temos termos com potências de , nesse caso, . Queremos saber para quais valores de essa soma não explode, mas sim se mantém finita.
Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. O teste diz que se o limite da razão entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, não dá pra concluir nada.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = (x+1)^nn cdot 2^n
Agora, calculamos an+1 = (x+1)^n+1(n+1) cdot 2^n+1:
an+1an = (x+1)^n+1(n+1) cdot 2^n+1 cdot n cdot 2^n(x+1)^n = (x+1) cdot n2 cdot (n+1)
A razão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty (x+1) cdot n2 cdot (n+1) = limn to infty (x+1)2 cdot nn+1 tende ao infinito:
limn to infty an+1an = x+12
Sabemos que , então:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1 em módulo:
| x+12 | < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
| x+1 | < 2
Isso significa que:
-2 < x + 1 < 2
Subtraindo 1 de todos os lados:
-3 < x < 1

Passo 6

Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo sumn=1^infty (-3+1)^nn cdot 2^n = sumn=1^infty (-2)^nn cdot 2^n = sumn=1^infty (-1)^nn e sumn=1^infty (1+1)^nn cdot 2^n = sumn=1^infty 2^nn cdot 2^n = sumn=1^infty 1n para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O domínio de convergência é .

Exercícios relacionados

Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
b) f_xx(0,0)=-2, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2;
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
f) f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2 + 2*x))
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
d) f_xx(0,0)=-3, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=-2.
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
a) f_xx(0,0)=2, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2