log_5(x+10) = 1 + log_25(2x-5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação logarítmica:
Isso está relacionado ao conteúdo de logaritmos. Para resolver essa equação, vamos precisar entender as propriedades dos logaritmos e saber manipular equações exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a base do segundo logaritmo. Sabemos que é igual a , então podemos reescrever usando a base :
Como , temos:

Passo 3

Agora, substituímos isso de volta na equação original:
Para facilitar, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar a fração:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos reescrever como:

Passo 5

Agora, vamos isolar os termos com logaritmos. Subtraia de ambos os lados:
Usando a propriedade que , temos:

Passo 6

Agora, para resolver a equação, vamos reescrever o logaritmo na forma exponencial. Sabemos que é equivalente a . Então:

Passo 7

Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 8

Agora, vamos deixar a equação igualada a zero:

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula do discriminante:

onde , , e .
Calculando:

Passo 10

Como o discriminante é zero, a equação tem uma raiz dupla:

Passo 11

Por fim, precisamos verificar se a solução encontrada satisfaz as condições do logaritmo, ou seja, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos:
  1. ,
  2. .
Nossa solução satisfaz ambas as condições.

Resposta

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