.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação logarítmica:
Isso está relacionado ao conteúdo de logaritmos. Para resolver essa equação, vamos precisar entender as propriedades dos logaritmos e saber manipular equações exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a base do segundo logaritmo. Sabemos que
é igual a
, então podemos reescrever
usando a base
:
Como
, temos:
Passo 3
Agora, substituímos isso de volta na equação original:
Para facilitar, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar a fração:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos reescrever
como:
Passo 5
Agora, vamos isolar os termos com logaritmos. Subtraia
de ambos os lados:
Usando a propriedade que
, temos:
Passo 6
Agora, para resolver a equação, vamos reescrever o logaritmo na forma exponencial. Sabemos que
é equivalente a
. Então:
Passo 7
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 8
Agora, vamos deixar a equação igualada a zero:
Passo 9
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula do discriminante:
onde
Calculando:
Passo 10
Como o discriminante é zero, a equação tem uma raiz dupla:
Passo 11
Por fim, precisamos verificar se a solução encontrada satisfaz as condições do logaritmo, ou seja, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos:
-
, -
.
Nossa solução
satisfaz ambas as condições.
Resposta
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A série
é convergente ou divergente?
Seja
. Determine a soma da série.
Seja
Verificar se
é contínua nos pontos -1 e 1.