Seja f(x) = { x^2 - 1, se |x| <= 1; 1 - x^2, se |x| > 1 } Verificar se f é contínua nos pontos -1 e 1.

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida de forma diferente dependendo de . A questão aqui é verificar se essa função é contínua nos pontos e . Para isso, vamos falar sobre o que é continuidade e quais passos a gente precisa seguir para checar isso nesses pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade em . Primeiro, vamos ver se está definida. Como , usamos a primeira parte da função:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Para (valores menores que -1), usamos a segunda parte da função:
Então:
Para (valores maiores que -1), usamos a primeira parte da função:
Então:

Passo 5

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e ambos são iguais a , concluímos que a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade em . Primeiro, calculamos . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, .

Passo 7

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Para (valores menores que 1), usamos a primeira parte da função:
Então:
Para (valores maiores que 1), usamos a segunda parte da função:
Então:

Resposta

Como os limites pela esquerda e pela direita em ambos os pontos e são iguais aos valores de e respectivamente, a função é contínua nos pontos e .

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