Seja
Verificar se
é contínua nos pontos -1 e 1.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
definida de forma diferente dependendo de
. A questão aqui é verificar se essa função é contínua nos pontos
e
. Para isso, vamos falar sobre o que é continuidade e quais passos a gente precisa seguir para checar isso nesses pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em
. Primeiro, vamos ver se
está definida. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
).
Para
(valores menores que -1), usamos a segunda parte da função:
Então:
Para
(valores maiores que -1), usamos a primeira parte da função:
Então:
Passo 5
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e ambos são iguais a
, concluímos que a função
é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade em
. Primeiro, calculamos
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então,
.
Passo 7
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
).
Para
(valores menores que 1), usamos a primeira parte da função:
Então:
Para
(valores maiores que 1), usamos a segunda parte da função:
Então:
Resposta
Como os limites pela esquerda e pela direita em ambos os pontos
e
são iguais aos valores de
e
respectivamente, a função
é contínua nos pontos
e
.