O losango A B C D tem diagonal D B paralela ao vetor v=(1,2). Se A=(-1,2) e B=(3,5), determine os outros vértices de A B C D.

Passo 1

Vamos lá! Temos um losango ABCD onde a diagonal DB é paralela ao vetor v = (1,2). Sabemos que o ponto A está em (-1,2) e o ponto B está em (3,5). Nosso objetivo é encontrar os pontos C e D que completam o losango.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um losango. Um losango é um quadrilátero com todos os lados de igual comprimento e diagonais que se cruzam perpendicularmente e se bissetam mutuamente.

Passo 3

Sabemos que a diagonal DB é paralela ao vetor v = (1,2). Isso significa que o vetor que representa a diagonal DB tem a mesma direção que v. Vamos usar isso para encontrar as coordenadas de D.

Passo 4

Vamos calcular o vetor DB. Se D = (x,y) e B = (3,5), então:
DB = (3 - x, 5 - y)
Como DB é paralelo a v = (1,2), podemos dizer que:
DB = k cdot (1,2)
Onde k é um escalar. Assim:
3 - x = k cdot 1 e 5 - y = k cdot 2

Passo 5

Resolvendo as equações:
3 - x = k (1)
5 - y = 2k (2)
Da equação (1), temos k = 3 - x. Substituindo na equação (2):
5 - y = 2(3 - x)
5 - y = 6 - 2x
-y = 1 - 2x
y = 2x - 1

Passo 6

Agora, como no losango as diagonais se bissetam, o ponto médio de DB é o mesmo que o ponto médio de AC. Já conhecemos A = (-1,2) e B = (3,5). Vamos encontrar o ponto médio M de AB:
Mx = -1 + 32 = 1
My = 2 + 52 = 3.5
Então, M = (1, 3.5).

Passo 7

Como M também é o ponto médio de DB, temos:
Mx = Dx + Bx2 = 1
My = Dy + By2 = 3.5
Substituindo B = (3,5):
x + 32 = 1 Rightarrow x + 3 = 2 Rightarrow x = -1
y + 52 = 3.5 Rightarrow y + 5 = 7 Rightarrow y = 2
Portanto, D = (-1,2).

Passo 8

Observamos que D coincide com o ponto A. Isso indica que houve um equívoco nos cálculos anteriores. Vamos reconsiderar nosso approach.
Sabemos que D e A são diferentes pontos no losango. Vamos utilizar a propriedade das diagonais que se bissetam e são perpendiculares.

Passo 9

A diagonal AC deve ser perpendicular à diagonal DB e se cortar no ponto médio M = (1, 3.5). Vamos determinar as coordenadas de C.
Sabemos que A = (-1,2) e que M é o ponto médio entre A e C. Portanto:
Mx = -1 + Cx2 = 1 Rightarrow -1 + Cx = 2 Rightarrow Cx = 3
My = 2 + Cy2 = 3.5 Rightarrow 2 + Cy = 7 Rightarrow Cy = 5
Então, C = (3,5).

Passo 10

Percebi que C coincide com B, o que não é possível em um losango. Vamos refazer os cálculos considerando que as diagonais se cruzam no ponto médio e são perpendiculares.

Passo 11

Vamos determinar o ponto D usando a direção do vetor v = (1,2). Sabemos que a diagonal DB está nessa direção. Como o ponto médio M = (1, 3.5) está no meio de DB, podemos expressar D como:
D = 2M - B = 2(1, 3.5) - (3,5) = (2,7) - (3,5) = (-1,2)
Novamente, chegamos em D = (-1,2), que coincide com A.

Passo 12

Parece que há inconsistências na configuração do losango dado os pontos fornecidos. Recomendo revisar os dados ou a abordagem utilizada para garantir a correta determinação dos vértices.

Resposta

Não foi possível determinar os outros vértices do losango com os dados fornecidos, pois os pontos A e D coincidem, o que não é possível em um losango. Recomenda-se verificar as informações ou a abordagem utilizada.

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