Mostrar que A=(a, 2 a+1), B=(a+1,2 a+1) e C=(a+2,2 a+5) são colineares para todo valor de a in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os pontos , e estão colineares para qualquer valor de real. Isso se refere ao conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre colinearidade de pontos no plano. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se três pontos estão em uma mesma linha reta, usando o conceito de inclinação das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa três pontos serem colineares. Três pontos estão colineares se a inclinação da reta entre o primeiro e o segundo ponto for igual à inclinação da reta entre o segundo e o terceiro ponto. A inclinação de uma reta que passa por dois pontos m = y2 - y1x2 - x1 e é dada pela fórmula:
Vamos aplicar isso aos pontos , e .

Passo 3

Primeiro, calculamos a inclinação da reta entre mAB = (2a + 1) - (2a + 1)(a + 1) - a = 01 = 0 e :
Então, a inclinação entre e é 0, o que significa que a reta é horizontal.

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta entre mBC = (2a + 5) - (2a + 1)(a + 2) - (a + 1) = 41 = 4 e :
Aí está! A inclinação entre e é 4.

Passo 5

Para os pontos serem colineares, as duas inclinações devem ser iguais. Mas aqui vimos que e . Como 0 não é igual a 4, parece que houve um erro na nossa análise.
Na verdade, ao revisitar o cálculo, percebemos que, para as retas serem colineares para todo , as inclinações devem ser iguais independentemente do valor de . Nesse caso, como as inclinações são constantes e diferentes, os pontos não são colineares para todo valor de .

Resposta

Os pontos , e não são colineares para todo valor de .

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O losango A B C D tem diagonal D B paralela ao vetor v=(1,2). Se A=(-1,2) e B=(3,5), determine os outros vértices de A B C D.
Num triângulo A B C são dados: A=(2,0) ; M=(-1,4), que é ponto médio do lado A B ; d(A, B)=10 e d(B, C)=10 raiz2. Obter os outros vértices de triang<= A B C.
Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo A B C D, para:
(1) A=(-3,-1), B=(4,2) e C=(5,5)
(2) A=(5,1), B=(7,3) e C=(3,4)
Prove que o triângulo cujos vértices são (2,2),(-4,-6) e(4,-12) é retângulo.