Verifique se são operadores lineares no espaço
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o operador
é linear no espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes reais. O operador
está definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser linear. Vamos dar uma olhada nisso nos próximos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Um operador
é linear se ele satisfaz duas propriedades fundamentais para todos os polinômios
e
em
e para todo escalar
:
- Soma:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se o operador
cumpre essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a propriedade da soma:
Vamos calcular
:
Usando as regras de derivação, temos:
Substituindo de volta na expressão de
:
Então, a propriedade da soma é satisfeita.
Passo 4
Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Vamos calcular
:
Novamente, aplicando as regras de derivação:
Substituindo na expressão de
:
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Passo 5
Verificando se
está realmente em
:
Sabemos que:
- A derivada de um polinômio de grau
é um polinômio de grau . - A segunda derivada de um polinômio de grau
é um polinômio de grau . - Multiplicar por
aumenta o grau do polinômio em 2.
Então,
tem grau no máximo
e
tem grau no máximo
. Logo, a soma
também tem grau no máximo
, garantindo que
está dentro de
.
Resposta
Sim, o operador
é linear no espaço
.