Verifique se são operadores lineares no espaço Pn(R)
F: Pn(R) Pn(R) tal que F(f(t))=f^prime(t)+t^2 f^prime prime(t), forall f(t) in Pn(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o operador F(f(t)) = f^prime(t) + t^2 f^primeprime(t) é linear no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais. O operador está definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser linear. Vamos dar uma olhada nisso nos próximos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Um operador é linear se ele satisfaz duas propriedades fundamentais para todos os polinômios e em e para todo escalar :
  1. Soma:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se o operador cumpre essas duas propriedades.

Passo 3

Verificando a propriedade da soma:
Vamos calcular F(f(t) + g(t)) = (f(t) + g(t))^prime + t^2 (f(t) + g(t))^primeprime :
(f(t) + g(t))^prime = f^prime(t) + g^prime(t)
Usando as regras de derivação, temos:
(f(t) + g(t))^primeprime = f^primeprime(t) + g^primeprime(t)
F(f(t) + g(t)) = f^prime(t) + g^prime(t) + t^2 (f^primeprime(t) + g^primeprime(t)) = [f^prime(t) + t^2 f^primeprime(t)] + [g^prime(t) + t^2 g^primeprime(t)] = F(f(t)) + F(g(t))
Substituindo de volta na expressão de :
Então, a propriedade da soma é satisfeita.

Passo 4

Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Vamos calcular F(c cdot f(t)) = (c cdot f(t))^prime + t^2 (c cdot f(t))^primeprime :
(c cdot f(t))^prime = c cdot f^prime(t)
Novamente, aplicando as regras de derivação:
(c cdot f(t))^primeprime = c cdot f^primeprime(t)
F(c cdot f(t)) = c cdot f^prime(t) + t^2 cdot c cdot f^primeprime(t) = c cdot [f^prime(t) + t^2 f^primeprime(t)] = c cdot F(f(t))
Substituindo na expressão de :
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Passo 5

Verificando se está realmente em :
Sabemos que:
  • A derivada de um polinômio de grau é um polinômio de grau .
  • A segunda derivada de um polinômio de grau é um polinômio de grau .
  • Multiplicar por aumenta o grau do polinômio em 2.
Então, tem grau no máximo e tem grau no máximo . Logo, a soma também tem grau no máximo , garantindo que está dentro de .

Resposta

Sim, o operador é linear no espaço .

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