Verifique se são operadores lineares no espaço tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o operador é linear no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais. O operador está definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser linear. Vamos dar uma olhada nisso nos próximos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Um operador é linear se ele satisfaz duas propriedades fundamentais para todos os polinômios e em e para todo escalar :
Soma:
Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se o operador cumpre essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a propriedade da soma:
Vamos calcular :
Usando as regras de derivação, temos:
Substituindo de volta na expressão de :
Então, a propriedade da soma é satisfeita.
Passo 4
Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Vamos calcular :
Novamente, aplicando as regras de derivação:
Substituindo na expressão de :
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Passo 5
Verificando se está realmente em :
Sabemos que:
A derivada de um polinômio de grau é um polinômio de grau .
A segunda derivada de um polinômio de grau é um polinômio de grau .
Multiplicar por aumenta o grau do polinômio em 2.
Então, tem grau no máximo e tem grau no máximo . Logo, a soma também tem grau no máximo , garantindo que está dentro de .