O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q²+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 80 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que mostra o lucro $ L(q) = -4q^2 + 1000q - 12000 $ em reais, onde $ q $ é a quantidade de produtos produzidos e vendidos, variando de 0 a 80 unidades. Nosso objetivo é descobrir qual quantidade de produtos vai trazer o lucro máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função que temos é uma parábola que abre para baixo, porque o coeficiente de $ q^2 $ é negativo (-4). Isso significa que ela tem um ponto de máximo. Para encontrar esse ponto, precisamos determinar o vértice da parábola.
Passo 3
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola na forma $ L(q) = aq^2 + bq + c $ é $ q = -\frac{b}{2a} $. No nosso caso, $ a = -4 $ e $ b = 1000 $.
Passo 4
Vamos calcular $ q $ usando a fórmula:
No entanto, o enunciado limita $ q $ a 80 unidades. Portanto, o valor de 125 está fora do nosso intervalo de interesse.
Passo 5
Como o ponto de máximo teórico está fora do intervalo, precisamos verificar os valores dos lucros nas extremidades do intervalo, ou seja, quando $ q = 0 $ e $ q = 80 $.
Passo 6
Vamos calcular o lucro para $ q = 0 $:
Agora, para $ q = 80 $:
Calculando passo a passo:
Resposta
O valor máximo de lucro que pode ser obtido é de R$ 42.400, alcançado produzindo e vendendo 80 unidades do produto.