O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q²+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 80 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que mostra o lucro $ L(q) = -4q^2 + 1000q - 12000 $ em reais, onde $ q $ é a quantidade de produtos produzidos e vendidos, variando de 0 a 80 unidades. Nosso objetivo é descobrir qual quantidade de produtos vai trazer o lucro máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função que temos é uma parábola que abre para baixo, porque o coeficiente de $ q^2 $ é negativo (-4). Isso significa que ela tem um ponto de máximo. Para encontrar esse ponto, precisamos determinar o vértice da parábola.

Passo 3

A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola na forma $ L(q) = aq^2 + bq + c $ é $ q = -\frac{b}{2a} $. No nosso caso, $ a = -4 $ e $ b = 1000 $.

Passo 4

Vamos calcular $ q $ usando a fórmula:
q
No entanto, o enunciado limita $ q $ a 80 unidades. Portanto, o valor de 125 está fora do nosso intervalo de interesse.

Passo 5

Como o ponto de máximo teórico está fora do intervalo, precisamos verificar os valores dos lucros nas extremidades do intervalo, ou seja, quando $ q = 0 $ e $ q = 80 $.

Passo 6

Vamos calcular o lucro para $ q = 0 $:
q = 0
Agora, para $ q = 80 $:
L(0) = -4(0)^2 + 1000(0) - 12000 = -12000 reais
Calculando passo a passo:
q = 80

Resposta

O valor máximo de lucro que pode ser obtido é de R$ 42.400, alcançado produzindo e vendendo 80 unidades do produto.

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