Luz monocromática de comprimento de onda lambda incide numa esfera metálica neutra de raio r. O comprimento de onda de corte é lambda0>lambda. Determine o número de fotoelétrons que serão emitidos antes que essa emissão cesse. A permissividade elétrica do vácuo é varepsilon0, a constante de Planck h, a carga elementar e e a velocidade da luz no vácuo c.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma luz monocromática com comprimento de onda lambda que tá atingindo uma esfera metálica neutra de raio r. O comprimento de onda de corte é lambda0, que é maior que lambda. A pergunta é: quantos fotoelétrons vão ser emitidos antes que essa emissão pare. Pra resolver isso, vamos precisar entender o efeito fotoelétrico, usar algumas fórmulas de energia dos fótons, e considerar a carga elétrica e o potencial da esfera. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia de cada fóton da luz que tá atingindo a esfera. A energia de um fóton é dada por:
E = h clambda
Aqui, h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz no vácuo, e lambda é o comprimento de onda da luz incidente.

Passo 3

Agora, o comprimento de onda de corte lambda0 está relacionado à função trabalho do metal, que é a energia mínima necessária pra tirar um elétron da superfície do metal. A função trabalho phi é dada por:
phi = h clambda0
Isso significa que só fótons com energia maior ou igual a phi conseguem liberar el��trons.

Passo 4

A energia cinética máxima dos fotoelétrons emitidos é a diferença entre a energia do fóton incidente e a função trabalho:
K = E - phi = h clambda - h clambda0 = h c ( 1lambda - 1lambda0 )
Essa é a energia que cada elétron vai ter ao ser emitido.

Passo 5

Quando elétrons são emitidos, a esfera metálica começa a perder elétrons e fica carregada positivamente. Essa carga cria um potencial elétrico na esfera, que age contra a emissão de mais elétrons. O potencial V da esfera carregada é dado por:
V = q4 pi varepsilon0 r
Onde q é a carga na esfera, varepsilon0 é a permissividade elétrica do vácuo, e r é o raio da esfera.

Passo 6

Para que a emissão de elétrons cesse, a energia cinética dos elétrons K deve ser igual à energia necessária para superar o potencial elétrico da esfera. Ou seja:
K = e V
Substituindo V na equação:
h c ( 1lambda - 1lambda0 ) = e cdot q4 pi varepsilon0 r

Passo 7

Sabendo que a carga q perdida pela esfera é igual ao número de elétrons emitidos N vezes a carga de um elétron e ( q = N e), substituímos na equação:
h c ( 1lambda - 1lambda0 ) = e cdot N e4 pi varepsilon0 r

Passo 8

Agora, vamos isolar N para encontrar o número de fotoelétrons emitidos:
N = 4 pi varepsilon0 r h ce^2 ( 1lambda - 1lambda0 )

Resposta

O número de fotoelétrons emitidos antes que a emissão cesse é dado por:
N = 4 pi varepsilon0 r h ce^2 ( 1lambda - 1lambda0 )

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