Luz monocromática de comprimento de onda
incide numa esfera metálica neutra de raio
. O comprimento de onda de corte é
. Determine o número de fotoelétrons que serão emitidos antes que essa emissão cesse. A permissividade elétrica do vácuo é
, a constante de Planck
, a carga elementar
e a velocidade da luz no vácuo
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma luz monocromática com comprimento de onda
que tá atingindo uma esfera metálica neutra de raio
. O comprimento de onda de corte é
, que é maior que
. A pergunta é: quantos fotoelétrons vão ser emitidos antes que essa emissão pare. Pra resolver isso, vamos precisar entender o efeito fotoelétrico, usar algumas fórmulas de energia dos fótons, e considerar a carga elétrica e o potencial da esfera. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia de cada fóton da luz que tá atingindo a esfera. A energia de um fóton é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz no vácuo, e
é o comprimento de onda da luz incidente.
Passo 3
Agora, o comprimento de onda de corte
está relacionado à função trabalho do metal, que é a energia mínima necessária pra tirar um elétron da superfície do metal. A função trabalho
é dada por:
Isso significa que só fótons com energia maior ou igual a
conseguem liberar el��trons.
Passo 4
A energia cinética máxima dos fotoelétrons emitidos é a diferença entre a energia do fóton incidente e a função trabalho:
Essa é a energia que cada elétron vai ter ao ser emitido.
Passo 5
Quando elétrons são emitidos, a esfera metálica começa a perder elétrons e fica carregada positivamente. Essa carga cria um potencial elétrico na esfera, que age contra a emissão de mais elétrons. O potencial
da esfera carregada é dado por:
Onde
é a carga na esfera,
é a permissividade elétrica do vácuo, e
é o raio da esfera.
Passo 6
Para que a emissão de elétrons cesse, a energia cinética dos elétrons
deve ser igual à energia necessária para superar o potencial elétrico da esfera. Ou seja:
Substituindo
na equação:
Passo 7
Sabendo que a carga
perdida pela esfera é igual ao número de elétrons emitidos
vezes a carga de um elétron
(
), substituímos na equação:
Passo 8
Agora, vamos isolar
para encontrar o número de fotoelétrons emitidos:
Resposta
O número de fotoelétrons emitidos antes que a emissão cesse é dado por: