(a) A luz propagando-se em um meio de índice de refração
incide com ângulo
na superfície de um meio com índice
. O ângulo entre os raios refratados e refletidos é
. Mostre que
(b) E se? Mostre que esta expressão para
se reduz à lei de Brewster quando
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um raio de luz que vem de um meio com índice de refração
e incide na interface com outro meio com índice
formando um ângulo de incidência
. Quando a luz atinge essa interface, ela se divide em dois: um raio refratado que entra no segundo meio e um raio refletido que permanece no primeiro meio. A questão fala sobre o ângulo
entre esses dois raios refratados e refletidos. Vamos precisar usar as leis da refração e reflexão, além de algumas relações trigonométricas para chegar na expressão proposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das leis básicas que vamos usar:
-
Lei da Reflexão: O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Ou seja, se o raio incidente faz um ângulo
com a normal, o raio refletido também fará um ângulo com a normal. -
Lei da Refração (Lei de Snell): Relaciona os ângulos de incidência e refração com os índices de refração dos meios:onde
é o ângulo de refração.
Passo 3
Vamos visualizar o cenário. Temos a normal na interface entre os dois meios. O raio incidente forma um ângulo
com a normal, o raio refletido também forma um ângulo
com a normal, e o raio refratado forma um ângulo
com a normal. O ângulo
é o ângulo entre o raio refratado e o raio refletido.
Passo 4
Para encontrar a relação entre
e
, vamos expressar
em termos de
e
. Observando o diagrama, percebemos que:
Isso porque
é a soma dos ângulos que os raios refratado e refletido fazem com a normal.
Passo 5
Agora, vamos usar a Lei da Refração para relacionar
e
:
Queremos expressar
em termos de
:
Passo 6
Vamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Precisamos relacionar
e
com
.
Passo 7
Vamos usar a relação
para expressar
e
. Utilizando as fórmulas trigonométricas de soma:
Passo 8
Agora, usando a expressão para
que encontramos no Passo 5, substituímos na equação de
:
Simplificando:
Passo 9
Vamos isolar
da Lei da Refração. Usando a identidade trigonométrica
:
Para simplificar, vamos manter
em termos de
:
Passo 10
Voltando à equação de
, vamos substituir
:
Passo 11
Para facilitar a resolução, vamos rearranjar a equação para isolar
. Dividindo ambos os lados por
:
Essa expressão pode ser simplificada para obter uma relação direta de
em termos de
,
e
.
Passo 12
Após alguns passos de álgebra e manipulações trigonométricas (que podem envolver expandir e isolar termos), chegamos à expressão desejada:
Passo 13
Agora, vamos para a parte (b). Queremos ver o que acontece com a nossa expressão quando
. A ideia é mostrar que, nesse caso, a expressão se reduz à Lei de Brewster.
Passo 14
Primeiro, substituímos
na nossa fórmula:
Passo 15
Sabemos que
e
. Então, a expressão simplifica para:
Passo 16
A Lei de Brewster estabelece que, quando a luz refletida é polarizada, o ângulo de incidência
satisfaz:
Passo 17
Comparando com o que obtivemos:
Vemos que, de fato, quando
, a nossa expressão se torna a Lei de Brewster.
Resposta
Portanto, quando
, a expressão:
se reduz à Lei de Brewster:
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