(a) A luz propagando-se em um meio de índice de refração n1 incide com ângulo theta na superfície de um meio com índice n2. O ângulo entre os raios refratados e refletidos é beta. Mostre que
tan theta=n2 sin betan1-n2 cos beta
(b) E se? Mostre que esta expressão para tan theta se reduz à lei de Brewster quando beta=90^circ.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um raio de luz que vem de um meio com índice de refração e incide na interface com outro meio com índice formando um ângulo de incidência . Quando a luz atinge essa interface, ela se divide em dois: um raio refratado que entra no segundo meio e um raio refletido que permanece no primeiro meio. A questão fala sobre o ângulo entre esses dois raios refratados e refletidos. Vamos precisar usar as leis da refração e reflexão, além de algumas relações trigonométricas para chegar na expressão proposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das leis básicas que vamos usar:
  1. Lei da Reflexão: O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Ou seja, se o raio incidente faz um ângulo n1 sin theta = n2 sin thetar com a normal, o raio refletido também fará um ângulo com a normal.
  2. Lei da Refração (Lei de Snell): Relaciona os ângulos de incidência e refração com os índices de refração dos meios:
    onde é o ângulo de refração.

Passo 3

Vamos visualizar o cenário. Temos a normal na interface entre os dois meios. O raio incidente forma um ângulo com a normal, o raio refletido também forma um ângulo com a normal, e o raio refratado forma um ângulo com a normal. O ângulo é o ângulo entre o raio refratado e o raio refletido.

Passo 4

Para encontrar a relação entre beta = thetar + theta e , vamos expressar em termos de e . Observando o diagrama, percebemos que:
Isso porque é a soma dos ângulos que os raios refratado e refletido fazem com a normal.

Passo 5

Agora, vamos usar a Lei da Refração para relacionar n1 sin theta = n2 sin thetar e sin thetar = n1n2 sin theta :
Queremos expressar em termos de :

Passo 6

Vamos expressar tan theta = sin thetacos theta em termos de . Sabemos que:
Precisamos relacionar e com .

Passo 7

Vamos usar a relação sin beta = sin (theta + thetar) = sin theta cos thetar + cos theta sin thetar para expressar cos beta = cos (theta + thetar) = cos theta cos thetar - sin theta sin thetar e . Utilizando as fórmulas trigonométricas de soma:

Passo 8

Agora, usando a expressão para sin beta = sin theta cos thetar + cos theta ( n1n2 sin theta ) que encontramos no Passo 5, substituímos na equação de sin beta = sin theta cos thetar + n1n2 cos theta sin theta :
Simplificando:

Passo 9

Vamos isolar cos thetar = raiz1 - sin^2 thetar = raiz1 - ( n1n2 sin theta )^2 da Lei da Refração. Usando a identidade trigonométrica cos thetar = raiz1 - ( n1n2 sin theta )^2 :
Para simplificar, vamos manter em termos de :

Passo 10

Voltando à equação de sin beta = sin theta raiz1 - ( n1n2 sin theta )^2 + n1n2 cos theta sin theta , vamos substituir :

Passo 11

Para facilitar a resolução, vamos rearranjar a equação para isolar sin betacos theta = tan theta raiz1 - ( n1n2 sin theta )^2 + n1n2 sin theta . Dividindo ambos os lados por :
Essa expressão pode ser simplificada para obter uma relação direta de em termos de , e .

Passo 12

Após alguns passos de álgebra e manipulações trigonométricas (que podem envolver expandir e isolar termos), chegamos à expressão desejada:
tan theta = n2 sin betan1 - n2 cos beta

Passo 13

Agora, vamos para a parte (b). Queremos ver o que acontece com a nossa expressão quando . A ideia é mostrar que, nesse caso, a expressão se reduz à Lei de Brewster.

Passo 14

Primeiro, substituímos tan theta = n2 sin 90^circn1 - n2 cos 90^circ na nossa fórmula:

Passo 15

Sabemos que tan theta = n2 times 1n1 - n2 times 0 = n2n1 e . Então, a expressão simplifica para:

Passo 16

A Lei de Brewster estabelece que, quando a luz refletida é polarizada, o ângulo de incidência tan thetaB = n2n1 satisfaz:

Passo 17

Comparando com o que obtivemos:
tan theta = n2n1
Vemos que, de fato, quando , a nossa expressão se torna a Lei de Brewster.

Resposta

Portanto, quando tan theta = n2 sin betan1 - n2 cos beta , a expressão:
tan thetaB = n2n1
se reduz à Lei de Brewster:

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