Use o item a) para encontrar uma série de potências para f(x)=x ln (1-x).

Passo 1

Beleza, temos que encontrar uma série de potências para a função . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão em série da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir ln(1 - x) = - sumn=1^infty x^nn em uma série de potências. Sabemos que para :
Isso significa que podemos escrever a função logarítmica como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, queremos multiplicar essa série por f(x) = x ln(1 - x) = x ( - sumn=1^infty x^nn ) = - sumn=1^infty x^n+1n para obter a série de potências de . Fazendo isso, temos:
Aqui, simplesmente multiplicamos cada termo da série original por .

Passo 4

Podemos simplificar um pouco mais ajustando o índice da soma para deixar a expressão mais elegante. Se substituirmos f(x) = - summ=2^infty x^mm - 1 , então , e a série fica:
Isso nos dá uma série começando com , mas na prática, é mais comum deixar o índice começando em 1.

Resposta

A série de potências para f(x) = - sumn=1^infty x^n+1n é:

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