Use o item a) para encontrar uma série de potências para
.
Passo 1
Beleza, temos que encontrar uma série de potências para a função
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão em série da função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em uma série de potências. Sabemos que para
:
Isso significa que podemos escrever a função logarítmica como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, queremos multiplicar essa série por
para obter a série de potências de
. Fazendo isso, temos:
Aqui, simplesmente multiplicamos cada termo da série original por
.
Passo 4
Podemos simplificar um pouco mais ajustando o índice da soma para deixar a expressão mais elegante. Se substituirmos
, então
, e a série fica:
Isso nos dá uma série começando com
, mas na prática, é mais comum deixar o índice começando em 1.
Resposta
A série de potências para
é:
Exercícios relacionados
Considere uma série de fios paralelos com espaçamento uniforme de
entre os centros. No ar a
, uma onda de ultrassom de frequência
de uma fonte distante incide perpendicularmente sobre a série. (a) Encontre o número de direções no lado oposto da série no qual há um máximo de intensidade. (b) Encontre o ângulo para cada uma das direções em relação à direção do feixe incidente. Resposta: a) três b)
Uma tela é colocada a uma distância
de uma fenda única de largura
, que é iluminada com luz de comprimento de onda
. Suponha que
. Se a distância entre os mínimos para
e
no padrão de difração for
, qual é a largura da fenda? Resposta:
O máximo de difração de primeira ordem é observado a
para um cristal que tem espaçamento entre os planos de átomos de
. (a) Um raio
de qual comprimento de onda é utilizado para observar este padrão de primeira ordem? (b) Quantas ordens podem ser observadas através deste cristal neste comprimento de onda? Resposta: a) 0,109 nm b) Quatro
(a) A luz propagando-se em um meio de índice de refração
incide com ângulo
na superfície de um meio com índice
. O ângulo entre os raios refratados e refletidos é
. Mostre que
(b) E se? Mostre que esta expressão para
se reduz à lei de Brewster quando
.