Use o item a) para encontrar uma série de potências para
.
Passo 1
Beleza, temos que encontrar uma série de potências para a função
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão em série da função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em uma série de potências. Sabemos que para
:
Isso significa que podemos escrever a função logarítmica como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, queremos multiplicar essa série por
para obter a série de potências de
. Fazendo isso, temos:
Aqui, simplesmente multiplicamos cada termo da série original por
.
Passo 4
Podemos simplificar um pouco mais ajustando o índice da soma para deixar a expressão mais elegante. Se substituirmos
, então
, e a série fica:
Isso nos dá uma série começando com
, mas na prática, é mais comum deixar o índice começando em 1.
Resposta
A série de potências para
é: