Use o item a) para encontrar uma série de potências para .

Passo 1

Beleza, temos que encontrar uma série de potências para a função . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão em série da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir em uma série de potências. Sabemos que para :
Isso significa que podemos escrever a função logarítmica como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, queremos multiplicar essa série por para obter a série de potências de . Fazendo isso, temos:
Aqui, simplesmente multiplicamos cada termo da série original por .

Passo 4

Podemos simplificar um pouco mais ajustando o índice da soma para deixar a expressão mais elegante. Se substituirmos , então , e a série fica:
Isso nos dá uma série começando com , mas na prática, é mais comum deixar o índice começando em 1.

Resposta

A série de potências para é:

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Considere uma série de fios paralelos com espaçamento uniforme de entre os centros. No ar a , uma onda de ultrassom de frequência de uma fonte distante incide perpendicularmente sobre a série. (a) Encontre o número de direções no lado oposto da série no qual há um máximo de intensidade. (b) Encontre o ângulo para cada uma das direções em relação à direção do feixe incidente. Resposta: a) três b)
Uma tela é colocada a uma distância de uma fenda única de largura , que é iluminada com luz de comprimento de onda . Suponha que . Se a distância entre os mínimos para e no padrão de difração for , qual é a largura da fenda? Resposta:
O máximo de difração de primeira ordem é observado a para um cristal que tem espaçamento entre os planos de átomos de . (a) Um raio de qual comprimento de onda é utilizado para observar este padrão de primeira ordem? (b) Quantas ordens podem ser observadas através deste cristal neste comprimento de onda? Resposta: a) 0,109 nm b) Quatro
(a) A luz propagando-se em um meio de índice de refração incide com ângulo na superfície de um meio com índice . O ângulo entre os raios refratados e refletidos é . Mostre que
(b) E se? Mostre que esta expressão para se reduz à lei de Brewster quando .