Nos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado:
, com a condição inicial
. Este é um exercício de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial na forma padrão:
. No nosso caso, temos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a resolução.
Passo 3
O fator integrante
é dado por
. Calculando isso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Integralizamos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Resolvendo a integral do lado direito usando a técnica de integração por partes:
Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: