Nos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime-y=2 t e^2 t, y(0)=1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado: , com a condição inicial . Este é um exercício de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial na forma padrão: . No nosso caso, temos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a resolução.

Passo 3

O fator integrante mu(t) = e^integral -1 , dt = e^-t é dado por . Calculando isso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante e^-t y' - e^-t y = 2 t e^2 t e^-t :
e^-t y' - e^-t y = 2 t e^t
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto ddt ( e^-t y ) = 2 t e^t . Então podemos escrever:
integral ddt ( e^-t y ) dt = integral 2 t e^t dt
Integralizamos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Resolvendo a integral do lado direito usando a técnica de integração por partes:
integral 2 t e^t dt = 2 ( t e^t - integral e^t dt ) = 2 ( t e^t - e^t ) = 2 e^t (t - 1)
Portanto:
e^-t y = 2 e^t (t - 1) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por y = 2 e^t (t - 1) e^t + C e^t = 2 e^2 t (t - 1) + C e^t para resolver para 1 = 2 e^0 (0 - 1) + C e^0 Rightarrow 1 = -2 + C Rightarrow C = 3 :
Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 2 e^2 t (t - 1) + 3 e^t

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