Nos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado: , com a condição inicial . Este é um exercício de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial na forma padrão: . No nosso caso, temos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a resolução.

Passo 3

O fator integrante é dado por . Calculando isso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Então podemos escrever:
Integralizamos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Resolvendo a integral do lado direito usando a técnica de integração por partes:
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :
Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

(a) A luz propagando-se em um meio de índice de refração incide com ângulo na superfície de um meio com índice . O ângulo entre os raios refratados e refletidos é . Mostre que
(b) E se? Mostre que esta expressão para se reduz à lei de Brewster quando .
O máximo de difração de primeira ordem é observado a para um cristal que tem espaçamento entre os planos de átomos de . (a) Um raio de qual comprimento de onda é utilizado para observar este padrão de primeira ordem? (b) Quantas ordens podem ser observadas através deste cristal neste comprimento de onda? Resposta: a) 0,109 nm b) Quatro
A partir da proposta de Einstein, calcule a energia (em eV e em J) do fóton associado:
a) a um comprimento de onda de (diâmetro aproximado de um átomo); b) a uma freqüência de 90,7 MHz (faixa de rádio FM ); c) a , comprimento de onda da radiação de fundo descoberto por Penzias e Wilson em 1963.
Encontre os valores do comprimento de onda para os quais a radiação do corpo negro é máxima ( ) para as temperaturas de 3 K e 3000 K . Em que regiões do espectro eletromagnético se encontram estes valores? b) Considerando que o corpo humano se aproxima de um corpo negro, determine seu valor . Em que região do espectro eletromagnético este comprimento se encontra?