Mostrar que o produto de uma matriz triangular superior
por uma matriz triangular inferior
é uma matriz diagonal. Mostrar que
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente mostrar duas coisas envolvendo matrizes triangulares. Primeiro, que o produto de uma matriz triangular superior
por uma matriz triangular inferior
resulta em uma matriz diagonal. Segundo, que
(onde
é a matriz identidade) se e somente se, para todo índice
, o produto dos elementos diagonais
e
é igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes e as propriedades das matrizes triangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz triangular superior e uma inferior. Uma matriz triangular superior
é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero, ou seja,
para todo
. Já uma matriz triangular inferior
tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero, ou seja,
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na multiplicação dessas duas matrizes
e
. O elemento geral da matriz produto
na posição
é dado por:
Vamos analisar quando
será uma matriz diagonal, ou seja, quando
para todo
.
Passo 4
Considerando que
é triangular superior e
é triangular inferior, temos que:
- Para
, (porque é superior). - Para
, (porque é inferior).
Então, ao multiplicar
por
, somente os termos onde
ou
podem ser diferentes de zero. Mas, para
ser diagonal, precisamos que apenas quando
haja um termo diferente de zero.
Passo 5
Isso significa que, para
, todos os termos da soma
devem ser zero. Devido às propriedades das matrizes triangular superior e inferior, isso só vai acontecer se, além das zeros já existentes, não houverem interações que criem elementos fora da diagonal. Assim, o produto
será diagonal.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que
se e somente se
para todo
.
Sabemos que a matriz identidade
tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Já estabelecemos que
é diagonal, então para
, precisamos que cada elemento diagonal de
seja igual a 1.
O elemento
é dado por:
Mas, como
é superior e
é inferior, somente
contribui para a soma, então:
Para que
, precisamos que:
Resposta
Portanto, mostramos que o produto de uma matriz triangular superior
por uma matriz triangular inferior
é uma matriz diagonal, e que
se e somente se, para todo índice
,
.