Mostrar que o produto de uma matriz triangular superior A por uma matriz triangular inferior B é uma matriz diagonal. Mostrar que A B=I Long<=ftrightarrow ai i cdot bi i=1 forall i=1,2,3, cdots, n

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente mostrar duas coisas envolvendo matrizes triangulares. Primeiro, que o produto de uma matriz triangular superior por uma matriz triangular inferior resulta em uma matriz diagonal. Segundo, que (onde é a matriz identidade) se e somente se, para todo índice , o produto dos elementos diagonais e é igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes e as propriedades das matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz triangular superior e uma inferior. Uma matriz triangular superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero, ou seja, para todo . Já uma matriz triangular inferior tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero, ou seja, para todo .

Passo 3

Agora, vamos pensar na multiplicação dessas duas matrizes (AB)ik = sumj=1^n aij cdot bjk e . O elemento geral da matriz produto na posição é dado por:
Vamos analisar quando será uma matriz diagonal, ou seja, quando para todo .

Passo 4

Considerando que é triangular superior e é triangular inferior, temos que:
  • Para , (porque é superior).
  • Para , (porque é inferior).
Então, ao multiplicar por , somente os termos onde ou podem ser diferentes de zero. Mas, para ser diagonal, precisamos que apenas quando haja um termo diferente de zero.

Passo 5

Isso significa que, para , todos os termos da soma devem ser zero. Devido às propriedades das matrizes triangular superior e inferior, isso só vai acontecer se, além das zeros já existentes, não houverem interações que criem elementos fora da diagonal. Assim, o produto será diagonal.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que (AB)ii = sumj=1^n aij cdot bji se e somente se (AB)ii = aii cdot bii para todo aii cdot bii = 1 para todo i .
Sabemos que a matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Já estabelecemos que é diagonal, então para , precisamos que cada elemento diagonal de seja igual a 1.
O elemento é dado por:
Mas, como é superior e é inferior, somente contribui para a soma, então:
Para que , precisamos que:

Resposta

Portanto, mostramos que o produto de uma matriz triangular superior por uma matriz triangular inferior é uma matriz diagonal, e que se e somente se, para todo índice , .

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