Seja
um domínio e
. Mostre que
se, e somente se,
pra algum inversível
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um domínio
e elementos
dentro desse domínio. A gente precisa provar que os ideais gerados por
e
são iguais, ou seja,
, se e somente se
, onde
é um elemento invertível de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de anéis, especialmente sobre ideais principais e elementos invertíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal gerado por um elemento. Em um anel, o ideal
consiste em todos os múltiplos de
por elementos do anel. Então,
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que
. Isso significa que todo múltiplo de
pode ser escrito como múltiplo de
e vice-versa. Em particular,
pertence a
, ou seja, existe algum
tal que
.
Passo 4
Analogamente, já que
, também existe algum
tal que
. Substituindo a expressão de
na equação de
, temos:
Como
é um domínio, se
, então
. Isso mostra que
tem um inverso
, ou seja,
é um elemento invertível em
.
Passo 5
Portanto, conseguimos expressar
como
, onde
é invertível. Podemos renomear
para
, já que é invertível, então
.
Passo 6
Agora, vamos provar a outra direção: se
com
invertível, então
. Como
é invertível, existe
tal que
.
Passo 7
Dado
, qualquer múltiplo de
pode ser escrito como:
Como
está em
, isso mostra que
.
Passo 8
Da mesma forma, como
é invertível, podemos escrever
. Então, qualquer múltiplo de
é:
O que implica que
.
Passo 9
Como mostramos que
e
, concluímos que
.
Resposta
Portanto,
se, e somente se,
para algum elemento invertível
em
.
Exercícios relacionados
Mostre que
em
, em que
é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e
é o ideal principal gerado pelo 2.
Seja
um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em
, prove que a interseção de todos os
é um ideal.
Se
Seja
um ideal em
tal que
. Prove que ou
ou
.
Se
é um ideal em um anel comutativo
e se
com
, prove que o conjunto
é um ideal tal que
.