Seja D um domínio e a, b in D. Mostre que (a)=(b) se, e somente se, a=b u pra algum inversível u in D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um domínio e elementos dentro desse domínio. A gente precisa provar que os ideais gerados por e são iguais, ou seja, , se e somente se , onde é um elemento invertível de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de anéis, especialmente sobre ideais principais e elementos invertíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal gerado por um elemento. Em um anel, o ideal consiste em todos os múltiplos de por elementos do anel. Então, . O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos supor que . Isso significa que todo múltiplo de pode ser escrito como múltiplo de e vice-versa. Em particular, pertence a , ou seja, existe algum tal que .

Passo 4

Analogamente, já que b = s cdot a = s cdot (r cdot b) = (s cdot r) cdot b , também existe algum tal que . Substituindo a expressão de na equação de , temos:
Como é um domínio, se , então . Isso mostra que tem um inverso , ou seja, é um elemento invertível em .

Passo 5

Portanto, conseguimos expressar como , onde é invertível. Podemos renomear para , já que é invertível, então .

Passo 6

Agora, vamos provar a outra direção: se com invertível, então . Como é invertível, existe tal que .

Passo 7

Dado r cdot a = r cdot (b cdot u) = (r cdot u) cdot b , qualquer múltiplo de pode ser escrito como:
Como está em , isso mostra que .

Passo 8

Da mesma forma, como s cdot b = s cdot (a cdot u^-1) = (s cdot u^-1) cdot a é invertível, podemos escrever . Então, qualquer múltiplo de é:
O que implica que .

Passo 9

Como mostramos que e , concluímos que .

Resposta

Portanto, se, e somente se, para algum elemento invertível em .

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