Seja um domínio e . Mostre que se, e somente se, pra algum inversível .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um domínio e elementos dentro desse domínio. A gente precisa provar que os ideais gerados por e são iguais, ou seja, , se e somente se , onde é um elemento invertível de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de anéis, especialmente sobre ideais principais e elementos invertíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal gerado por um elemento. Em um anel, o ideal consiste em todos os múltiplos de por elementos do anel. Então, . O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos supor que . Isso significa que todo múltiplo de pode ser escrito como múltiplo de e vice-versa. Em particular, pertence a , ou seja, existe algum tal que .

Passo 4

Analogamente, já que , também existe algum tal que . Substituindo a expressão de na equação de , temos:
Como é um domínio, se , então . Isso mostra que tem um inverso , ou seja, é um elemento invertível em .

Passo 5

Portanto, conseguimos expressar como , onde é invertível. Podemos renomear para , já que é invertível, então .

Passo 6

Agora, vamos provar a outra direção: se com invertível, então . Como é invertível, existe tal que .

Passo 7

Dado , qualquer múltiplo de pode ser escrito como:
Como está em , isso mostra que .

Passo 8

Da mesma forma, como é invertível, podemos escrever . Então, qualquer múltiplo de é:
O que implica que .

Passo 9

Como mostramos que e , concluímos que .

Resposta

Portanto, se, e somente se, para algum elemento invertível em .

Exercícios relacionados

Mostre que em , em que é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e é o ideal principal gerado pelo 2.
Seja um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em , prove que a interseção de todos os é um ideal.
Seja um ideal em tal que . Prove que ou ou .
Se é um ideal em um anel comutativo e se com , prove que o conjunto
é um ideal tal que .